[论文解读] MRD-codes arising from the trinomial $x^q+x^{q^3}+cx^{q^5}\in\mathbb{F}_{q^6}[x]$

Giuseppe Marino, Maria Montanucci+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文利用域 $fiq^6[x]$ 上的三项式 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$，在 $fiq^{6\times6}$ 中构造了新的 $fiq$-线性 MRD 码，其维数为 12，最小距离为 5，左理想化子同构于 $fiq^6$。该研究证明了这些码对所有奇素数 $q$ 均存在，与此前已知的 MRD 码不等价，并在 $ rm{PG}(1,q^6)$ 中产生最大分散的线性集，且在 $ rm{P\Gamma L}(2,q^6)$ 下不等价于任何已知的线性集。

ABSTRACT

In [10], the existence of $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes of $\mathbb{F}_q^{6 imes 6}$, with dimension $12$, minimum distance $5$ and left idealiser isomorphic to $\mathbb{F}_{q^6}$, defined by a trinomial of $\mathbb{F}_{q^6}[x]$, when $q$ is odd and $q\equiv 0,\pm 1\pmod 5$, has been proved. In this paper we show that this family produces $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes of $\mathbb{F}_q^{6 imes 6}$, with the same properties, also in the remaining $q$ odd cases, but not in the $q$ even case. These MRD-codes are not equivalent to the previously known MRD-codes. We also prove that the corresponding maximum scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^6)$ are not $\mathrm{P}Γ\mathrm{L}(2,q^6)$-equivalent to any previously known scattered linear set.

研究动机与目标

• 将 $fiq$-线性 MRD 码在 $fiq^{6\times6}$ 中的构造扩展至此前未涵盖的情形，即当 $q \equiv 0, \pm1 \pmod{5}$ 时的例外情况。
• 证明由三项式 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ 生成的 MRD 码对所有奇 $q$ 均存在，包括此前被排除的情形。
• 建立这些新 MRD 码在标准等价关系下不与任何此前已知的 MRD 码等价。
• 证明在 $ rm{PG}(1,q^6)$ 中与这些码相关的最大分散线性集不与任何此前已知的线性集在 $ rm{P\Gamma L}(2,q^6)$ 下等价。
• 探讨此类码是否可由 $fiq^{2n}[x]$ 中具有奇次幂项的更广义多项式族在适当系数条件下生成。

提出的方法

• 作者利用线性化多项式及其关联线性映射的理论，分析了 $fiq^6$ 上 $q$-多项式 $f(x) = x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ 的核与秩。
• 他们将 $fiq$-线性码 ${\mathcal{C}}$ 定义为从 $fiq^6$ 到 $fiq^6 \times \ufb01q^6$ 的映射 $x \mapsto (x, f(x))$ 对应的矩阵集合，该集合构成一个维数为 12 的子空间。
• 通过分析 $f(x) - f(y)$ 的核的性质，证明当 $x \neq y$ 时其秩至少为 5，从而验证了最小距离为 5。
• 通过分析关联线性映射的自同态环的代数结构，证明该码的左理想化子同构于 $fiq^6$。
• 定义线性集 $L_c$ 为由向量 $(x, f(x))$ 张成的 $fiq$-直线的集合，并利用条件 $c^2 + c = 1$ 和 $q$ 的奇性，证明其最大性与分散性。
• 通过子直线中点的数量等不变量测试线性集的等价性，并利用 $ rm{P\Gamma L}(2,q^6)$ 下某些自同构不存在的性质，确立其不等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $fiq^6[x]$ 上，三项式 $x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ 是否对所有奇 $q$（包括满足 $q \equiv \pm2 \pmod{5}$ 的情形）均生成 $fiq$-线性 MRD 码？
• RQ2 由该三项式构造的 MRD 码是否与所有此前已知的同参数 $fiq$-线性 MRD 码均不等价？
• RQ3 由 $U_c = \{(x, x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}) \mid x \in \ufb01q^6\}$ 定义的最大分散线性集 $L_c$ 是否在 $ rm{P\Gamma L}(2,q^6)$ 下不与 $ rm{PG}(1,q^6)$ 中任何已知的最大分散线性集等价？
• RQ4 该构造能否推广至更高 $n$，使用 $fiq^{2n}[x]$ 中形如 $f(x) = x^q + \sum_{i=1}^{n-1} a_{2i+1} x^{q^{2i+1}}$ 的多项式？
• RQ5 由该三项式族生成的 MRD 码是否构成一个在对偶或转置运算下封闭的新族？

主要发现

• 在 $fiq^{6\times6}$ 中，由 $f(x) = x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}$ 生成的 MRD 码对所有奇 $q$（包括 $q \equiv \pm2 \pmod{5}$ 的情形）均具有维数 12、最小距离 5，且其左理想化子同构于 $fiq^6$。
• 该构造产生了与此前所有已知 $fiq$-线性 MRD 码不等价的新 MRD 码。
• 当 $c^2 + c = 1$ 时，由 $U_c = \{(x, x^q + x^{q^3} + c x^{q^5}) \mid x \in \ufb01q^6\}$ 定义的最大分散线性集 $L_c$ 当且仅当 $q$ 为奇数时是分散的。
• 当 $q \equiv \pm2 \pmod{5}$ 时，线性集 $L_c$ 在 $ rm{P\Gamma L}(2,q^6)$ 下不与任何此前已知的 $ rm{PG}(1,q^6)$ 中的最大分散线性集等价。
• 表 1 的计算结果表明，对于 $q \leq 64$ 的偶数情形，适当选择 $c$（如 $a_5$）也能生成 MRD 码，暗示可能存在更广义的码族。
• 作者推测，此类码可能源自 $fiq^{2n}[x]$ 中具有奇次幂项的更广义多项式族，且其系数满足特定代数约束条件。