[论文解读] Muckenhoupt's $(A_p)$ condition and the existence of the optimal martingale measure

Dmitry Kramkov, Kim Weston|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 21, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文证明，当存在一个局部鞅测度，其密度满足概率意义下的 Muckenhoupt $(A_p)$ 条件，其中 $p = 1/(1-a)$，$a \in (0,1)$ 为相对风险规避的下界时，该条件对于对偶最优解在效用最大化问题中为一致可积鞅而言，既充分又最优。该结果确保了最优鞅测度 $ω\mathbb{Q}}$ 的存在性，这对不完全市场中的定价与对冲至关重要。

ABSTRACT

In the problem of optimal investment with utility function defined on $(0,\infty)$, we formulate sufficient conditions for the dual optimizer to be a uniformly integrable martingale. Our key requirement consists of the existence of a martingale measure whose density process satisfies the probabilistic Muckenhoupt $(A_p)$ condition for the power $p=1/(1-a)$, where $a\in (0,1)$ is a lower bound on the relative risk-aversion of the utility function. We construct a counterexample showing that this $(A_p)$ condition is sharp.

研究动机与目标

• 确定对偶最优解 $\widehat{Y}$ 在效用最大化问题中为一致可积鞅的充分条件。
• 解决数学金融领域长期存在的问题：即使在连续模型中，$\widehat{Y}$ 也可能不是鞅。
• 证明当 $p = 1/(1-a)$ 时，Muckenhoupt $(A_p)$ 条件对确保 $\widehat{Y}$ 属于 $(\mathbf{D})$ 类是精确的，这是实现一致可积性的关键步骤。
• 构造一个反例，证明即使在幂函数效用和连续价格过程下，若 $A_p$ 条件被削弱，则 $\widehat{Y}$ 无法属于 $(\mathbf{D})$ 类。

提出的方法

• 作者引入一个关键条件：存在一个对偶上鞅 $Z$，其满足概率意义下的 Muckenhoupt $(A_p)$ 条件，其中 $p = 1/(1-a)$，$a$ 为效用函数相对风险规避的下界。
• 他们在定理 5.1 中证明，该 $A_p$ 条件作用于 $Z$ 可推出 $\widehat{Y}$ 满足某个 $p' > 1$ 的 $A_{p'}$ 条件，从而确保 $\widehat{Y}$ 属于 $(\mathbf{D})$ 类。
• 证明利用了 $A_p$ 条件与 BMO 鞭稍之间的联系，结合调和分析与随机分析中的已知结果。
• 在命题 6.1 中，作者构造了一个连续扩散模型，其中 $A_p$ 条件不成立，且 $\widehat{Y}$ 不属于 $(\mathbf{D})$ 类，从而证明了该条件的最优性。
• 该构造使用一个两状态跳跃过程，并通过特定的随机指数 $\mathcal{E}(L)$ 定义对偶过程 $\widehat{Y}$，并给出了 $\mathcal{E}(L)_T$ 和 $\widehat{Y}_T$ 的显式表达式。
• 反例表明 $\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] < 1$，证明 $\widehat{Y}$ 不是一致可积鞅，从而确认了 $A_p$ 条件的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，效用最大化问题中的对偶最优解 $\widehat{Y}$ 为一致可积鞅？
• RQ2 当 $p = 1/(1-a)$ 时，Muckenhoupt $(A_p)$ 条件是否对 $\widehat{Y}$ 属于 $(\mathbf{D})$ 类而言是必要且充分的？
• RQ3 即使在连续模型和幂函数效用下，是否可以削弱 $A_p$ 条件而不损失 $\widehat{Y}$ 的一致可积性？
• RQ4 若存在一个等价局部鞅测度 $\mathbb{Q}$，其密度满足 $A_p$ 条件，是否能推出最优鞅测度 $\widehat{\mathbb{Q}}$ 的存在？
• RQ5 是否存在一个模型，使得 $A_p$ 条件不成立，且 $\widehat{Y}$ 不属于 $(\mathbf{D})$ 类，即使在连续价格过程和幂函数效用下？

主要发现

• 若存在一个对偶上鞅 $Z$ 满足 Muckenhoupt $(A_p)$ 条件，其中 $p = 1/(1-a)$，$a$ 为相对风险规避的下界，则对偶最优解 $\widehat{Y}$ 为一致可积鞅。
• 该 $A_p$ 条件作用于 $Z$ 可推出 $\widehat{Y}$ 满足某个 $p' > 1$ 的 $A_{p'}$ 条件，从而确保 $\widehat{Y}$ 属于 $(\mathbf{D})$ 类，这是实现一致可积性的必要条件。
• 本文构造了一个反例，其具有连续股票价格和幂函数效用，其中 $A_p$ 条件不成立，且 $\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] < 1$，证明 $\widehat{Y}$ 不是一致可积鞅。
• 该反例确认了当 $p = 1/(1-a)$ 时，$A_p$ 条件是精确的：任何更弱的条件均不足以确保 $\widehat{Y}$ 属于 $(\mathbf{D})$ 类。
• 对偶最小化器 $\widehat{Y}$ 显式构造为 $\widehat{Y} = \mathcal{E}(L)Z$，其中 $Z$ 为 $\mathbb{Q}$ 的密度，$L$ 为含跳跃成分的随机指数。
• 在反例中，$\mathbb{E}[\widehat{Y}_T] \leq 2^{-\delta} < 1$，表明 $\widehat{Y}$ 不是一致可积鞅，从而证明了 $A_p$ 条件的最优性。