[论文解读] Mukai implies McKay: the McKay correspondence as an equivalence of derived categories

Tom Bridgeland, Alastair King+1 more|ArXiv.org|Aug 6, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 65

一句话总结

本文将 McKay 对应关系确立为一个等价关系，即在商三叉三叉 $ Y $ 的凝聚层的导出范畴与原始三叉 $ M $ 上的 $ G $-等变凝聚层的导出范畴之间，证明了 Nakamura 的 $ G $-Hilbert 模空间是 Crepant 分辨，并且该导出等价关系在 K-理论上诱导出一个同构。该结果通过傅里叶–穆卡伊变换将经典 McKay 对应关系推广到了高维。

ABSTRACT

Let G be a finite group of automorphisms of a nonsingular complex threefold M such that the canonical bundle omega_M is locally trivial as a G-sheaf. We prove that the Hilbert scheme Y=GHilb M parametrising G-clusters in M is a crepant resolution of X=M/G and that there is a derived equivalence (Fourier- Mukai transform) between coherent sheaves on Y and coherent G-sheaves on M. This identifies the K theory of Y with the equivariant K theory of M, and thus generalises the classical McKay correspondence. Some higher dimensional extensions are possible.

研究动机与目标

• 通过导出范畴的术语将经典 McKay 对应关系推广到二维以上。
• 证明当 $ M $ 为非奇异复三叉且 $ G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ 时，$ G $-Hilbert 模空间 $ \operatorname{G-Hilb}(M) $ 是 $ X = M/G $ 的 Crepant 分辨。
• 在 $ Y $ 为 $ G $-Hilbert 模空间的前提下，建立 $ \mathrm{D}(Y) $ 与 $ \mathrm{D}^G(M) $ 之间的导出等价关系（傅里叶–穆卡伊变换）。
• 证明该导出等价关系在拓扑 K-理论上诱导出同构，从而解释 orbifold 欧拉示性数猜想。

提出的方法

• 将 $ G $-Hilbert 模空间 $ Y = \operatorname{G-Hilb}(M) $ 作为 $ X = M/G $ 的 Crepant 分辨的候选，重点关注包含自由 $ G $-轨道的不可约分支。
• 通过 $ Y \times M $ 上的通用 $ G $-簇 $ \mathcal{Z} \subset Y \times M $ 定义傅里叶–穆卡伊变换，从而在导出范畴之间诱导出一个函子。
• 利用 Bridgeland 在导出范畴与稳定性条件方面的工作技术，证明导出范畴之间的等价性。
• 利用变换是等价的充要条件是核在 K-理论上诱导出同构，并满足特定的半正交分解条件这一事实。
• 应用拓扑 K-理论与陈示性类同构，将导出等价关系与 orbifold 欧拉示性数猜想联系起来。
• 在 Kummer 曲面情形下验证该对应关系，表明 $ M $ 上的平坦 $ G $-线丛与 $ Y $ 上支持在 $ -2 $-曲线上线丛一一对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ M $ 为非奇异三叉且 $ G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ 时，$ G $-Hilbert 模空间 $ \operatorname{G-Hilb}(M) $ 是否为 $ M/G $ 的 Crepant 分辨？
• RQ2 $ Y $ 上的凝聚层的导出范畴与 $ M $ 上的 $ G $-等变凝聚层的导出范畴之间是否存在导出等价关系？
• RQ3 能否通过导出范畴与傅里叶–穆卡伊变换将经典 McKay 对应关系推广到高维？
• RQ4 该导出等价关系是否在拓扑 K-理论上诱导出同构，从而解释 orbifold 欧拉示性数猜想？
• RQ5 在 Kummer 曲面情形下，$ M $ 上的平坦 $ G $-线丛如何与 $ Y $ 上的线丛对应？

主要发现

• $ G $-Hilbert 模空间 $ \operatorname{G-Hilb}(M) $ 对任意有限子群 $ G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ 都是 $ X = M/G $ 的 Crepant 分辨，证实了 Nakamura 的猜想。
• 存在一个傅里叶–穆卡伊等价关系，将 $ \mathrm{D}(Y) $ 与 $ \mathrm{D}^G(M) $ 联系起来，其中 $ Y $ 为 $ G $-Hilbert 模空间，从而将 McKay 对应关系确立为导出等价。
• 该导出等价关系在拓扑 K-理论上诱导出一个分次同构，即 $ \mathcal{K}^*(Y) $ 与 $ \mathcal{K}_G^*(M) $ 之间同构，从而证实了 orbifold 欧拉示性数猜想 $ e(M,G) = e(Y) $。
• 在 Kummer 曲面情形下，阿贝尔曲面 $ M $ 上的平坦 $ G $-线丛与 K3 曲面 $ Y $ 上的线丛 $ \mathcal{O}_Y(D(\rho)) $ 对应，其中 $ D(\rho) = \frac{1}{2} \sum \rho(x_i) C_i $，$ C_i $ 为 $ -2 $-曲线。
• 导出范畴方法提供了一种统一的、无需分情况讨论的证明方式，证明了三维空间中 Crepant 分辨的存在性。
• 该 K-理论上的对应关系对 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ 的所有有限子群都构成同构，推广了早期对阿贝尔群的结果。