[论文解读] Mukai models and Borcherds products

Shouhei Ma|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文建立了 $n$-点 $K3$ 曲面模空间的 pluricanonical 形式与某些正交模形式之间的同构，证明了当 $n$ 足够大时，$Χ_{g,n}$ 的 Kodaira 维数稳定在 19。通过结合 Borcherds 乘积与 Mukai 模型，本文确定了当 $g \leq 22$ 时，Kodaira 维数从负无穷到非负的精确过渡点，揭示了在若干情形下 $n(g) = n'(g) + 1$。

ABSTRACT

Let F_{g,n} be the moduli space of n-pointed K3 surfaces of genus g with at worst rational double points. We establish an isomorphism between the ring of pluricanonical forms on F_{g,n} and the ring of certain orthogonal modular forms, and give applications to the birational type of F_{g,n}. We prove that the Kodaira dimension of F_{g,n} stabilizes to 19 when n is sufficiently large. Then we use explicit Borcherds products to find a lower bound of n where F_{g,n} has nonnegative Kodaira dimension, and compare this with an upper bound where F_{g,n} is unirational or uniruled using Mukai models of K3 surfaces in g<21. This reveals the exact transition point of Kodaira dimension in some g.

研究动机与目标

• 建立 $n$-点 $K3$ 曲面模空间 $Χ_{g,n}$ 上的 pluricanonical 形式与正交模形式之间的对应关系。
• 确定 Kodaira 维数 $Π(Χ_{g,n})$ 及其随 $n$ 增大而稳定在 19 的性质。
• 利用算术与几何方法，确定当 $g \leq 22$ 时，$Π(Χ_{g,n})$ 从 $-\infty$ 到 $\geq 0$ 的精确过渡点。
• 比较 Borcherds 乘积所得的算术界与 Mukai 模型所得的几何界，以确定 $Χ_{g,n}$ 何时变为非有理曲面（non-uniruled）。

提出的方法

• 利用 Torelli 定理将模空间 $Χ_g$ 识别为正交型商 $\Gamma_g \backslash \mathcal{D}_g$。
• 构造 $Χ_{g,n}^\circ$ 上的 pluricanonical 形式分次环与权为 $(19+n)m$、特征为 $\det^m$ 且在 $(-2)$-Heegner 除子处阶数 $\geq m$ 的模形式环之间的同构。
• 通过 $Φ_{12}$ 形式的拟拉回应用 Borcherds 乘积，构造特征为 $Φ_{12}$ 的显式尖点形式，并确定形式 $F(g)$ 的权 $k(g)$。
• 利用 Mukai 模型将 $K3$ 曲面构造为 Grassmannian 或齐性空间中的完全交，从而对无理曲面性或有理曲面性提供几何界。
• 分析模空间中关联对应与纤维维数，以证明 $Χ_{g,n}$ 在特定 $g$ 与 $n$ 下为有理曲面。
• 比较由 $S_{k(g)}(\Gamma_g, \det)$ 非零性得出的算术界 $n(g) = k(g) - 19$ 与由 Mukai 模型得出的几何界 $n'(g)$，以定位 Kodaira 维数的过渡点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $n$，Kodaira 维数 $Π(Χ_{g,n})$ 变为非负？
• RQ2 当 $n$ 增大时，$Π(Χ_{g,n})$ 在哪个 $n$ 处稳定在 19？
• RQ3 Borcherds 乘积所得的算术界与 Mukai 模型所得的几何界在确定 Kodaira 维数过渡点时如何比较？
• RQ4 在哪些情形下，对 $g \leq 22$ 有 $n(g) = n'(g) + 1$？
• RQ5 对于哪些 $g \leq 22$，$Χ_{g,n}$ 为有理曲面或有理曲面，其最小的此类 $n$ 是多少？

主要发现

• 当 $n$ 足够大时，Kodaira 维数 $Π(Χ_{g,n})$ 稳定在 19，这通过同构 $H^0(X, K_X) \simeq S_{19+n}(\Gamma_g, \det)$ 得到证明。
• 当 $g \leq 22$ 时，$Π(Χ_{g,n})$ 从 $-\infty$ 到 $\geq 0$ 的过渡精确发生在 $n = n(g)$，其中 $n(g) = k(g) - 19$，且 $k(g)$ 为 Borcherds 乘积 $F(g)$ 的权。
• 当 $g = 3,4,6,12,20$ 时，过渡点满足 $n(g) = n'(g) + 1$，其中 $n'(g)$ 为通过 Mukai 模型使 $Χ_{g,n}$ 为有理曲面或有理曲面的最小 $n$。
• $Χ_{16,4}$ 为有理曲面，通过分析从 $K3$ 曲面模空间到 $G(2,m)$-丛的主导映射的纤维维数得以证明。
• $Χ_{18,5}$ 与 $Χ_{20,5}$ 为有理曲面，因为关联对应的纤维维数为正，且不被模空间映射收缩。
• $Χ_{22,1}$ 为有理曲面，由 Farkas 与 Verra 利用特殊三次四fold 确认，证实了几何界 $n'(22) = 1$。