[论文解读] Multi-factor approximation of rough volatility models

Eduardo Abi Jaber, Omar El Euch|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于粗糙波动率模型的多因子马尔可夫近似方法，通过拉普拉斯变换近似将非马尔可夫的分数阶核替换为指数核之和，从而实现高效模拟与定价。核心贡献在于构建了一个可处理的马尔可夫模型，该模型弱收敛于粗糙赫斯顿模型，并提供了一种求解特征函数中分数阶里卡蒂方程的数值方法。

ABSTRACT

Rough volatility models are very appealing because of their remarkable fit of both historical and implied volatilities. However, due to the non-Markovian and non-semimartingale nature of the volatility process, there is no simple way to simulate efficiently such models, which makes risk management of derivatives an intricate task. In this paper, we design tractable multi-factor stochastic volatility models approximating rough volatility models and enjoying a Markovian structure. Furthermore, we apply our procedure to the specific case of the rough Heston model. This in turn enables us to derive a numerical method for solving fractional Riccati equations appearing in the characteristic function of the log-price in this setting.

研究动机与目标

• 解决由于粗糙波动率模型的非马尔可夫性和非半鞅结构导致的计算不可行性问题。
• 开发一种可处理的马尔可夫近似模型，同时保持粗糙波动率模型对历史波动率曲面和隐含波动率曲面的统计拟合能力。
• 提供一种求解粗糙赫斯顿模型中对数价格特征函数内出现的分数阶里卡蒂方程的数值方法。
• 将基于霍克斯过程的粗糙赫斯顿模型近似方法推广至更广泛的粗糙波动率模型类别。

提出的方法

• 通过拉普拉斯变换近似将分数阶核 $ K(t) = \frac{t^{H-1/2}}{\Gamma(H+1/2)} $ 表示为正测度 $ \mu $ 的拉普拉斯变换，得到 $ K(t) = \int_0^\infty e^{-\gamma t} \mu(d\gamma) $。
• 将测度 $ \mu $ 近似为有限个狄拉克函数的和 $ \mu^n = \sum_{i=1}^n c_i^n \delta_{\gamma_i^n} $，从而得到平滑后的核 $ K^n(t) = \sum_{i=1}^n c_i^n e^{-\gamma_i^n t} $。
• 构建一个包含 $ n $ 个均值回归奥恩斯坦-乌伦贝克因子的多因子随机波动率模型 $ (S^n, V^n) $，每个因子具有不同的均值回归速率 $ \gamma_i^n $。
• 利用随机伏尔泰拉方程的相关结果，证明近似模型 $ (S^n, V^n) $ 的强存在性与唯一性。
• 通过利用近似模型的马尔可夫结构，推导出求解对数价格特征函数中分数阶里卡蒂方程的数值格式。
• 利用比较原理与再生核理论，通过核的典型再生核界定分数阶里卡蒂方程的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般粗糙波动率模型构建一个保持其对历史与隐含波动率曲面拟合能力的多因子马尔可夫近似？
• RQ2 如何通过指数函数之和来近似粗糙波动率模型中的非马尔可夫分数阶核，以恢复马尔可夫结构？
• RQ3 多因子近似模型相对于原始粗糙波动率模型的收敛行为如何？
• RQ4 能否通过该近似方法数值计算粗糙赫斯顿模型中对数价格特征函数？
• RQ5 在近似下，特征函数中出现的分数阶里卡蒂方程的解具有怎样的界限？

主要发现

• 在一般条件下，多因子近似模型 $ (S^n, V^n) $ 具有强唯一解，确保了数值稳定性。
• 当 $ n \to \infty $ 时，近似模型弱收敛于原始粗糙波动率模型，保持了波动率过程的统计特性。
• 该方法通过恢复马尔可夫结构，实现了粗糙波动率模型下衍生品的高效模拟与定价。
• 推导出一种求解粗糙赫斯顿模型中对数价格特征函数内分数阶里卡蒂方程的数值方法，该方程在原始模型中原本难以求解。
• 分数阶里卡蒂方程的解被一个包含典型再生核 $ E_\lambda $ 的显式表达式所界定，满足 $ |h(t)| \leq |h_0| + (\|w\|_{\infty,T} + \lambda|h_0|) \int_0^T E_\lambda(s) ds $。
• 该近似方法不仅适用于粗糙赫斯顿模型，还可推广至更广泛的粗糙波动率模型类别，将基于霍克斯过程的近似方法推广至具有通用 $ \sigma $ 的模型。