[论文解读] Multi-fusion categories of Harish-Chandra bimodules

Victor Ostrik|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文通过关联簇定义的滤子，引入了复半单李代数上哈里什-钱德拉双模张量范畴的半单子商——多重融合范畴。这些范畴被称为胞胞范畴，其等价于有限群的表示范畴，并通过戴夫林中心构造与特征层联系起来，为卢斯蒂格的分类及有限W代数提供了新见解。

ABSTRACT

We survey some results on tensor products of irreducible Harish-Chandra bimodules. It turns out that such tensor products are semisimple in suitable Serre quotient categories. We explain how to identify the resulting semisimple tensor categories and describe some applications to representation theory.

研究动机与目标

• 理解哈里什-钱德拉双模的张量范畴结构，其为非半单，因此难以直接分类。
• 通过关联簇的滤子定义并研究半单子商——称为胞胞范畴，以简化表示论结构。
• 利用范畴工具（如戴夫林中心）将这些胞胞范畴识别为与有限群表示范畴等价的多重融合范畴。
• 将该框架应用于有限W代数，恢复其有限维单模的信息。
• 将构造推广至任意考克斯eter群及正特征情形，关联至特征层与索尔格el双模。

提出的方法

• 对哈里什-钱德拉双模使用关联簇滤子，定义一个分次范畴，其分次项即为胞胞范畴。
• 应用多重融合范畴理论对胞胞范畴进行分类，表明其等价于扭曲群表示范畴 $\mathrm{Coh}_{\bar{A},\omega}(Y \times Y)$。
• 利用戴夫林中心构造，通过旗流形上的函子 $\Gamma = \pi_! f^*$，将胞胞范畴与群 $G$ 上的单值特征层联系起来。
• 使用截断卷积与 perverse 丛技术，几何实现胞胞范畴，从而实现正特征情形的推广。
• 利用贝兹鲁卡尼科夫、洛谢夫等关于惠特aker范畴与W代数的结果，分析胞胞范畴的结构。
• 通过将该理论应用于有限W代数，将其实现代数表示范畴视为胞胞范畴的作用，从而恢复其有限维单模的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过基于关联簇的滤子，简化哈里什-钱德拉双模的非半单张量范畴？
• RQ2 由此滤子得到的半单子商（胞胞范畴）的结构是什么？如何对其进行分类？
• RQ3 能否利用旗流形或群 $G$ 上的 perverse 丛或特征层，几何实现这些范畴？
• RQ4 这些范畴与有限W代数及其有限维表示有何关联？
• RQ5 该框架能否推广至任意考克斯eter群或正特征情形？会涌现出何种新结构？

主要发现

• 与 $\mathfrak{g}$ 中幂零轨道相关的胞胞范畴是多重融合范畴，且等价于 $\mathrm{Coh}_{\bar{A},\omega}(Y \times Y)$，即在有限集 $Y \times Y$ 上的扭曲层范畴。
• 每个胞胞范畴 $\mathcal{J}_C$ 的戴夫林中心等价于 $G$ 上的单值特征层范畴 $\mathcal{U}_C$，建立了中心中简单对象与 $\mathcal{U}_C$ 之间的双射。
• 对于有限W代数，胞胞范畴在惠特aker范畴上的作用允许计算其有限维单模的数量，恢复了已知结果。
• 该构造可推广至任意考克斯eter群，此时胞胞范畴为 $\mathrm{Coh}_Q(Y \times Y)$，但若 $Q$ 无限，则其未必为多重融合范畴。
• 在二面体群（阶为10）的情形下，一个胞胞范畴包含一个具有两个简单对象的融合子范畴，满足 $X \otimes X = \mathbf{1} \oplus X$，表明其不具形式 $\mathrm{Coh}_{A,\omega}(Y \times Y)$。
• 将 $\mathcal{U}_C$ 识别为 $\mathcal{Z}(\mathcal{J}_C)$ 的简单对象，为卢斯蒂格对单值特征层的分类提供了一种子范畴论的新方法。