[论文解读] Multi-level Compressed Sensing Petrov-Galerkin discretization of high-dimensional parametric PDEs

Jean-Luc Bouchot, Holger Rauhut+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 44被引用 12

一句话总结

该论文提出了一种用于求解高维参数化PDE的多级压缩感知Galerkin（MLCSPG）方法，结合多级离散化与通过加权ℓ₁-最小化实现的压缩感知，以重建不同层级间解的差异的稀疏广义多项式混沌（gPC）展开。该方法实现了超越蒙特卡罗方法1/2收敛率的维数无关收敛速率，其计算工作量渐近等价于一次精细层级Galerkin求解，且无需对稀疏结构作先验假设（如‘向下封闭’的索引集）。

ABSTRACT

We analyze a novel multi-level version of a recently introduced compressed sensing (CS) Petrov-Galerkin (PG) method from [H. Rauhut and Ch. Schwab: Compressive Sensing Petrov-Galerkin approximation of high-dimensional parametric operator equations, Math. Comp. 304(2017) 661-700] for the solution of many-parametric partial differential equations. We propose to use multi-level PG discretizations, based on a hierarchy of nested finite dimensional subspaces, and to reconstruct parametric solutions at each level from level-dependent random samples of the high-dimensional parameter space via CS methods such as weighted l1-minimization. For affine parametric, linear operator equations, we prove that our approach allows to approximate the parametric solution with (almost) optimal convergence order as specified by certain summability properties of the coefficient sequence in a general polynomial chaos expansion of the parametric solution and by the convergence order of the PG discretization in the physical variables. The computations of the parameter samples of the PDE solution is "embarrassingly parallel", as in Monte-Carlo Methods. Contrary to other recent approaches, and as already noted in [A. Doostan and H. Owhadi: A non-adapted sparse approximation of PDEs with stochastic inputs. JCP 230(2011) 3015-3034] the optimality of the computed approximations does not require a-priori assumptions on ordering and structure of the index sets of the largest gpc coefficients (such as the "downward closed" property). We prove that under certain assumptions work versus accuracy of the new algorithms is asymptotically equal to that of one PG solve for the corresponding nominal problem on the finest discretization level up to a constant.

研究动机与目标

• 为解决不确定性量化中高维参数化PDE所面临的维数灾难问题。
• 开发一种非侵入式、可并行计算的方法，实现比蒙特卡罗方法更快的收敛速度。
• 消除对gPC系数稀疏结构的先验假设（如‘向下封闭’集合）。
• 将多级离散化与压缩感知相结合，实现跨层次的高效解重构。
• 在不依赖参数维数的前提下实现最优收敛速率，利用gPC系数中的稀疏性。

提出的方法

• 该方法在逐步细化的层次上采用嵌套的有限维子空间进行Galerkin（PG）离散化。
• 通过在参数空间的随机采样上使用加权ℓ₁-最小化，利用压缩感知重建连续层级间PG解的差异。
• 证明了解差异的gPC展开近似稀疏，且在0 < p < 1的控制ℓ_p-范数估计下，可高概率稳定恢复。
• 通过将各层级上恢复的差异值求和，重构最终的参数化解，确保与最细层级离散化的一致性。
• 采用与压缩感知方法底层概率测度正交的切比雪夫gPC展开，实现鲁棒的系数恢复。
• 该算法为非侵入式且可轻松并行化，因为每个参数样本可独立使用现有PG求解器求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 多级压缩感知方法是否能在不依赖gPC系数稀疏模式结构性假设的前提下，实现比蒙特卡罗方法更快的收敛速度？
• RQ2 所提出的MLCSPG方法是否在实现更优收敛速率的同时，保持与单次精细层级PG求解相当的计算效率？
• RQ3 该方法是否能利用层级间解差异gPC系数序列的稀疏性，而无需假设活跃索引集为‘向下封闭’？
• RQ4 该方法的收敛速率在多大程度上依赖于gPC系数序列的可 summability 性质以及PG离散化的稳定性？
• RQ5 MLCSPG方法的工作-精度权衡与单层级CS-PG和多级蒙特卡罗（MLMC）方法相比如何？

主要发现

• MLCSPG方法实现了超越蒙特卡罗方法1/2收敛率的维数无关收敛速率，且在合适的稀疏性假设下，收敛速率可能远超1/2。
• 为达到给定精度所需的计算工作量渐近等价于一次最细层级PG求解，仅相差一个依赖于光滑性和p∈(0,1)的常数。
• 该方法无需事先知晓gPC系数稀疏结构（如‘向下封闭’集合），与某些稀疏网格或自适应方法不同。
• 通过0 < p < 1的控制ℓ_p-范数估计，量化了层级间解差异的gPC展开近似稀疏性，从而可通过压缩感知实现稳定恢复。
• 该方法为非侵入式且可并行化，每个参数样本可独立评估，类似于蒙特卡罗方法。
• 该方法可利用gPC系数更优的可summability性，而无需修改算法，使其适用于具有更高正则性的各类问题。