[论文解读] Multi-Marginal Optimal Transport Defines a Generalized Metric.

Liang Mi, José Bento|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文证明了多边际最优传输（MMOT）定义了一个广义度量，通过关键的中间结果克服了先前的挑战，建立了其理论基础。它表明MMOT满足一个无法改进的广义三角不等式，从而使其能够用于基于度量的机器学习框架。

ABSTRACT

Optimal transport (OT) is rapidly finding its way into machine learning. Favoring its use are its metric properties. Indeed, many problems admit solution guarantees only for objects embedded in a metric space, and the use of non-metrics can make their solving more difficult. Multi-marginal OT (MMOT) generalizes OT to simultaneously transporting multiple distributions. It captures important relations that are missed if the transport is pairwise. Research on MMOT, however, has been focused on its existence, the uniqueness and structure of transports, applications, practical algorithms, and the choice of cost functions. There is a lack of discussion on the metric properties of MMOT, which critically limits its theoretical and practical use. Here, we prove that MMOT defines a generalized metric. We first explain the difficulty of proving this via two negative results. Afterwards, we prove key intermediate steps and then prove MMOT's metric properties. Finally, we show that the generalized triangle inequality that MMOT satisfies cannot be improved.

研究动机与目标

• 为解决多边际最优传输（MMOT）中度量性质缺乏理论理解的问题。
• 建立MMOT满足广义度量公理的理论基础，尽管由于结构复杂性，证明此性质存在挑战。
• 证明MMOT所满足的广义三角不等式是紧致的，无法进一步改进。
• 为在需要度量空间保证的机器学习应用中使用MMOT提供理论依据。

提出的方法

• 识别并分析阻碍MMOT中度量性质直接证明的两个负面结果。
• 建立克服这些障碍所必需的关键中间结果，为证明度量公理奠定基础。
• 证明MMOT满足广义度量的公理，包括非负性、不可区分者的同一性以及对称性。
• 证明MMOT满足一个广义三角不等式，该不等式将标准三角不等式推广至多边际设置。
• 利用反例表明，广义三角不等式无法被强化或改进。
• 利用多边际耦合与代价函数的结构特性，形式化广义度量框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明多边际最优传输满足广义度量的公理？
• RQ2 阻碍MMOT中度量性质直接证明的根本障碍是什么？
• RQ3 MMOT是否满足广义三角不等式？如果满足，该不等式能否被改进？
• RQ4 MMOT的度量性质与标准最优传输的度量性质相比如何？
• RQ5 这些度量性质对MMOT在机器学习中理论应用有何影响？

主要发现

• MMOT满足广义度量的公理，包括非负性、不可区分者的同一性以及对称性。
• MMOT所满足的广义三角不等式是紧致的，无法改进，这一点通过反例得到验证。
• 两个负面结果揭示了证明MMOT度量性质时存在的结构性挑战，这些挑战通过中间理论结果得以克服。
• 该证明确立了MMOT提供了一个有效的广义度量，使其能够用于需要度量空间性质的理论机器学习框架。
• MMOT的广义度量结构使得多分布传输问题能够获得更广泛的理论保证。