[论文解读] Multi-Moments Method for Portfolio Management: Generalized Capital Asset Pricing Model in Homogeneous and Heterogeneous markets

Yannick Malevergne, Didier Sornette|ArXiv.org|Jul 19, 2002

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义的资本资产定价模型（CAPM），基于矩生成函数和半不变量，采用多阶矩风险度量以捕捉超越方差的尾部分布风险。在灵活的威布尔分布参数模型下，推导出投资组合矩和累积量的精确公式，实现了可解析优化，可在同质与异质市场中同时提高预期收益并降低大额风险——即‘鱼与熊掌兼得’。

ABSTRACT

We introduce a new set of consistent measures of risks, in terms of the semi-invariants of pdf's, such that the centered moments and the cumulants of the portfolio distribution of returns that put more emphasis on the tail the distributions. We derive generalized efficient frontiers, based on these novel measures of risks and present the generalized CAPM, both in the cases of homogeneous and heterogeneous markets. Then, using a family of modified Weibull distributions, encompassing both sub-exponentials and super-exponentials, to parameterize the marginal distributions of asset returns and their natural multivariate generalizations, we offer exact formulas for the moments and cumulants of the distribution of returns of a portfolio made of an arbitrary composition of these assets. Using combinatorial and hypergeometric functions, we are in particular able to extend previous results to the case where the exponents of the Weibull distributions are different from asset to asset and in the presence of dependence between assets. In this parameterization, we treat in details the problem of risk minimization using the cumulants as measures of risks for a portfolio made of two assets and compare the theoretical predictions with direct empirical data. Our extended formulas enable us to determine analytically the conditions under which it is possible to ``have your cake and eat it too'', i.e., to construct a portfolio with both larger return and smaller ``large risks''.

研究动机与目标

• 开发一种广义CAPM，超越传统的均值-方差框架，纳入高阶风险度量。
• 通过使用累积量和半不变量作为风险度量，克服投资组合理论中高斯假设的局限性，突出尾部事件的影响。
• 提出一种可解析处理的参数化模型，用于描述投资组合收益分布，采用形状参数任意的修正威布尔分布及其依赖结构。
• 推导出投资组合可同时实现更高预期收益与更低大额风险的条件，挑战传统的风险-收益权衡关系。
• 通过最大熵参数化方法，实现高阶矩的精确估计，以支持实际投资组合优化。

提出的方法

• 使用累积量和绝对中心矩作为一致且风险规避的投资组合波动度量，推广基于方差的风险度量。
• 采用一族修正威布尔分布来建模边缘资产收益分布，允许亚指数尾部和超指数尾部。
• 应用威布尔分布的多元推广形式，以建模具有任意形状参数的资产间依赖关系。
• 利用组合恒等式与超几何函数，推导出即使各资产指数不同时，投资组合累积量与矩的精确解析表达式。
• 使用拉格朗日乘数法求解最优投资组合权重，以最小化高阶累积量，同时满足权重和为1的约束。
• 应用最大熵原理对收益分布进行参数化，从而实现对高阶矩的稳健估计，以支持优化过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构建一个投资组合，使其在提高预期收益的同时，也降低大额风险，从而违背传统的风险-收益权衡？
• RQ2 在最大化预期收益的同时，如何使高阶累积量（超越方差）最小化？其解析条件是什么？
• RQ3 如何对依赖资产收益的联合分布进行参数化，以实现投资组合矩与累积量的精确计算？
• RQ4 不同尾部分布行为（亚指数与超指数）在多阶矩风险度量下对最优投资组合配置有何影响？
• RQ5 当在同质与异质市场中使用高阶矩作为风险度量时，广义CAPM与经典CAPM有何不同？

主要发现

• 本文即使在威布尔形状参数不同的情况下，也利用超几何函数推导出投资组合收益分布累积量的精确解析公式。
• 对于两资产投资组合，最小化第n阶累积量的最优权重为 $ w^* = \frac{C_n(2)^{1/(n-1)}}{C_n(1)^{1/(n-1)} + C_n(2)^{1/(n-1)}} $，从而可实现明确的风险-收益权衡分析。
• 最小累积量投资组合的预期收益 $ \mu_n^* $ 可表示为单个资产收益的加权平均，权重与各资产累积量的 $ (n-1) $ 次方根成正比。
• 当 $ (\mu(1)-\mu(2)) \left( C_n(1)^{1/(n-1)} C_{n+k}(2)^{1/(n+k-1)} - C_n(2)^{1/(n-1)} C_{n+k}(1)^{1/(n+k-1)} \right) > 0 $ 时，有 $ \mu_n^* < \mu_{n+k}^* $，证明更高阶矩可实现更优的风险-收益组合。
• 在一般N资产情形下，最优权重为 $ w_i = \frac{\prod_{j \neq i} C_n(j)^{1/(n-1)}}{\sum_j C_n(j)^{1/(n-1)}} $，表明其遵循基于累积量大小的幂律加权规则。
• 该模型在理论上证明了在特定高阶矩条件下，‘鱼与熊掌兼得’是可能的——即在同时获得更高收益与更低大额风险方面成为现实。