[论文解读] Multi-Objective Maximization of Monotone Submodular Functions with Cardinality Constraint

Rajan Udwani|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文提出了一种快速且渐近最优的算法，用于在基数约束下对多个单调子模函数进行多目标最大化，采用乘法权重更新（MWU）方法，在 $\tilde{O}(n/\delta^3)$ 时间内实现 $(1-1/e)^2 - \delta$ 的近似比。该方法在保持强理论保证的同时，实现了超常数个目标函数的处理，相较于现有启发式方法在实验中表现更优。

ABSTRACT

We consider the problem of multi-objective maximization of monotone submodular functions subject to cardinality constraint, often formulated as $\\max_{|A|=k}\\min_{i\\in\\{1,\\dots,m\\}}f_i(A)$. While it is widely known that greedy methods work well for a single objective, the problem becomes much harder with multiple objectives. In fact, Krause et al.\\ (2008) showed that when the number of objectives $m$ grows as the cardinality $k$ i.e., $m=\\Omega(k)$, the problem is inapproximable (unless $P=NP$). On the other hand, when $m$ is constant Chekuri et al.\\ (2010) showed a randomized $(1-1/e)-\\epsilon$ approximation with runtime (number of queries to function oracle) $n^{m/\\epsilon^3}$. %In fact, the result of Chekuri et al.\\ (2010) is for the far more general case of matroid constant. We focus on finding a fast and practical algorithm that has (asymptotic) approximation guarantees even when $m$ is super constant. We first modify the algorithm of Chekuri et al.\\ (2010) to achieve a $(1-1/e)$ approximation for $m=o(\\frac{k}{\\log^3 k})$. This demonstrates a steep transition from constant factor approximability to inapproximability around $m=\\Omega(k)$. Then using Multiplicative-Weight-Updates (MWU), we find a much faster $\ ilde{O}(n/\\delta^3)$ time asymptotic $(1-1/e)^2-\\delta$ approximation. While the above results are all randomized, we also give a simple deterministic $(1-1/e)-\\epsilon$ approximation with runtime $kn^{m/\\epsilon^4}$. Finally, we run synthetic experiments using Kronecker graphs and find that our MWU inspired heuristic outperforms existing heuristics.

研究动机与目标

• 解决在基数约束下同时最大化多个单调子模目标函数的挑战，特别是当目标函数数量 $m$ 随基数 $k$ 增长时。
• 弥合已知不可近似性结果（当 $m = \Omega(k)$ 时）与现有仅适用于常数 $m$ 的近似算法之间的差距。
• 设计一种快速且可扩展的算法，在 $m$ 为超常数（具体为 $m = o(k / \log^3 k)$）时，仍能保持强理论近似保证。
• 设计一种基于乘法权重更新（MWU）的实用启发式方法，在克罗内克图上的合成实验中优于现有启发式方法。

提出的方法

• 修改 Chekuri 等人（2010）的随机化算法，针对 $m = o(k / \log^3 k)$ 的情形实现 $(1-1/e)$ 近似比，利用基于相对增益的分阶段贪心选择与阈值处理。
• 提出一种新颖的基于 MWU 的算法，通过维护元素上的分布并根据所有目标函数的边际增益更新权重，实现 $(1-1/e)^2 - \delta$ 近似比。
• 采用一种随机采样过程，其中每个元素以与其权重成比例的概率被独立包含，并证明所选集合的期望函数值至少为最优值的 $(1-1/e)^2 - \delta$ 倍。
• 采用两阶段方法：首先通过贪心选择阶段构建大小为 $O(m / \varepsilon^3)$ 的核心集合，然后在多轮中应用 MWU 优化解。
• 利用势函数论证和子模性分析 MWU 算法，界定向期望边际增益，证明其收敛至近似最优解。
• 提供一种确定性变体，通过在候选集合上进行穷举搜索，实现 $(1-1/e) - \varepsilon$ 近似比，时间复杂度为 $kn^{m/\varepsilon^4}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标函数数量 $m$ 随基数 $k$ 增长时，能否在常数 $m$ 之外的范围内实现多目标子模最大化的常数因子近似？
• RQ2 随着 $m$ 相对于 $k$ 的增加，近似可解性的渐近阈值是什么？是否存在从可近似到不可近似的尖锐转变？
• RQ3 能否设计一种运行时间为 $\tilde{O}(n/\delta^3)$ 的快速算法，实现对超常数 $m$ 的 $(1-1/e)^2 - \delta$ 近似？
• RQ4 在大规模合成图上，基于 MWU 的启发式方法与现有启发式方法相比表现如何？

主要发现

• 本文确立了近似可解性的尖锐阈值：当 $m = o(k / \log^3 k)$ 时，可实现 $(1-1/e)$ 近似比；但当 $m = \Omega(k)$ 时，除非 $P = NP$，否则问题不可近似。
• 所提出的基于 MWU 的算法在 $\tilde{O}(n/\delta^3)$ 时间内实现 $(1-1/e)^2 - \delta$ 近似比，显著优于先前随机算法的 $n^{m/\varepsilon^3}$ 时间复杂度。
• 确定性算法在时间复杂度 $kn^{m/\varepsilon^4}$ 内实现 $(1-1/e) - \varepsilon$ 近似比，为不希望使用随机性的场景提供了强有力替代方案。
• 基于 MWU 的启发式方法在克罗内克图上的合成实验中优于现有启发式方法，证明了其在实际应用中的优越性。
• 理论分析表明，在子模性和单调性假设下，MWU 采样集合的期望值至少为最优值的 $(1-1/e)^2 - \delta$ 倍。
• 分析证明，在第一阶段中，每个目标函数最多可贡献 $1/\varepsilon^3$ 个元素，从而确保集合大小有界，支持高效计算。