[论文解读] Multi-Pass Graph Streaming Lower Bounds for Cycle Counting, MAX-CUT, Matching Size, and Other Problems

Sepehr Assadi, Gillat Kol+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 82被引用 5

一句话总结

该论文通过引入一种新颖的轮次消去技术，首次建立了循环计数、MAX-CUT 和匹配大小估计等基础图问题的多轮流算法下界，该技术克服了以往基于布尔隐藏超匹配（BHH）方法的局限性，后者仅适用于单轮算法。关键结果表明，任何区分 $k$-循环与 $2k$-循环的 $p$-轮算法均需 $n^{1 - 1/k^{\Omega(1/p)}}$ 空间，从而为多种问题的多轮流算法建立了更强的下界。

ABSTRACT

Consider the following gap cycle counting problem in the streaming model: The edges of a $2$-regular $n$-vertex graph $G$ are arriving one-by-one in a stream and we are promised that $G$ is a disjoint union of either $k$-cycles or $2k$-cycles for some small $k$; the goal is to distinguish between these two cases. Verbin and Yu [SODA 2011] introduced this problem and showed that any single-pass streaming algorithm solving it requires $n^{1-Ω(\frac{1}{k})}$ space. This result and the technique behind it -- the Boolean Hidden Hypermatching communication problem -- has since been used extensively for proving streaming lower bounds for various problems. Despite its significance and broad range of applications, the lower bound technique of Verbin and Yu comes with a key weakness that is inherited by all subsequent results: the Boolean Hidden Hypermatching problem is hard only if there is exactly one round of communication and can be solved with logarithmic communication in two rounds. Therefore, all streaming lower bounds derived from this problem only hold for single-pass algorithms. We prove the first multi-pass lower bound for the gap cycle counting problem: Any $p$-pass streaming algorithm that can distinguish between disjoint union of $k$-cycles vs $2k$-cycles -- or even $k$-cycles vs one Hamiltonian cycle -- requires $n^{1-\frac{1}{k^{Ω(1/p)}}}$ space. As a corollary of this result, we can extend many of previous lower bounds to multi-pass algorithms. For instance, we can now prove that any streaming algorithm that $(1+ε)$-approximates the value of MAX-CUT, maximum matching size, or rank of an $n$-by-$n$ matrix, requires either $n^{Ω(1)}$ space or $Ω(\log{(\frac{1}ε)})$ passes. For all these problems, prior work left open the possibility of even an $O(\log{n})$ space algorithm in only two passes.

研究动机与目标

• 通过将单轮技术扩展至多轮环境，填补流算法下界研究中的关键空白，而此前方法在该场景下失效。
• 克服布尔隐藏超匹配（BHH）通信问题的局限性，该问题在两轮或以上通信中会崩溃。
• 基于广义轮次消去论证，建立适用于多轮图流算法的新下界框架。
• 将现有针对 MAX-CUT、匹配大小、矩阵秩和 Schatten 范数的单轮下界扩展至多轮环境。
• 为多轮流模型中广泛存在的图与矩阵问题提供统一的方法，以推导强空间复杂度下界。

提出的方法

• 引入一种广义通信问题——单匹配着色（OMC）问题，其以抵抗多轮通信中崩溃的方式捕捉了循环计数的核心困难。
• 提出一种轮次消去论证，证明 OMC 在 $p$-轮通信中仍具困难性，从而实现多轮流算法下界。
• 将 OMC 问题用作困难实例，通过归约至循环计数、MAX-CUT 和匹配大小估计等基础图问题。
• 利用分层图与嵌套块图的结构，模拟 $k$-循环与 $2k$-循环的行为，同时在多轮中保持困难性。
• 应用信息论工具，包括辅助信息引理，以界定 OMC 问题在多轮通信中的通信复杂度。
• 将先前从 BHH 到新多轮通信模型的归约进行扩展，表明现有单轮下界可仅通过微小修改推广至多轮环境。

实验结果

研究问题

• RQ1 布尔隐藏超匹配（BHH）通信问题能否扩展至多轮环境，以获得更强的流算法下界？
• RQ2 用于区分不相交的 $k$-循环与 $2k$-循环的 $p$-轮流算法，其最小空间需求是多少？
• RQ3 现有针对 MAX-CUT、匹配大小和矩阵范数的单轮下界能否扩展至多轮算法？
• RQ4 是否存在一种轮次消去技术，可在图流问题中保持多轮通信下的困难性？
• RQ5 在流模型中，近似基本图与矩阵属性时，轮次数与空间复杂度之间存在何种权衡？

主要发现

• 任何区分不相交的 $k$-循环与 $2k$-循环的 $p$-轮流算法均需 $n^{1 - 1/k^{\Omega(1/p)}}$ 空间，首次建立了该问题的多轮下界。
• 即使在区分 $k$-循环与单个哈密顿回路时，$k$-对 $2k$ 循环计数问题的下界依然成立，表明该技术具有鲁棒性。
• 对于 $(1+\varepsilon)$-近似 MAX-CUT、最大匹配大小和矩阵秩，任何 $p$-轮算法要么需要 $n^{\Omega(1)}$ 空间，要么需要 $\Omega(\log(1/\varepsilon))$ 轮，解决了关于低空间多轮算法可行性的开放问题。
• 稀疏矩阵的 Schatten $q$-范数近似在 $p$ 轮中需要 $\varepsilon \cdot 2^{-O(p)} \cdot n^{1 - g(\varepsilon,p)}$ 空间，其中 $g(\varepsilon,p)$ 表征了近似误差与轮数之间的权衡。
• 排序-块互换问题在 $p$ 轮中同样需要 $\varepsilon \cdot 2^{-O(p)} \cdot n^{1 - g(\varepsilon,p)}$ 空间，将该框架的适用范围扩展至字符串处理问题。
• 轮次消去论证成功克服了 BHH 在多轮中的崩溃问题，首次实现了基于通信复杂度的图流问题多轮下界。