[论文解读] Multi-Robot Task Allocation -- Complexity and Approximation

Haris Aziz, Hau Chan+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2021

Optimization and Search Problems参考文献 36被引用 13

一句话总结

本文研究了在三种预算约束——总预算、任务特定预算和机器人特定预算——下的多机器人任务分配的计算复杂性，提出了近似算法并证明了紧致的界限。结果表明，当每个任务最多需要 $ q^* $ 台机器人时，在机器人和任务预算设置下，可在多项式时间内实现 $ \frac{q^*+1}{2} $-近似；在总预算下，对称成本情形存在 PTAS，而除非 P = NP，否则无法实现优于 $ (q^*)^{1-\epsilon} $ 的近似。

ABSTRACT

Multi-robot task allocation is one of the most fundamental classes of problems in robotics and is crucial for various real-world robotic applications such as search, rescue and area exploration. We consider the Single-Task robots and Multi-Robot tasks Instantaneous Assignment (ST-MR-IA) setting where each task requires at least a certain number of robots and each robot can work on at most one task and incurs an operational cost for each task. Our aim is to consider a natural computational problem of allocating robots to complete the maximum number of tasks subject to budget constraints. We consider budget constraints of three different kinds: (1) total budget, (2) task budget, and (3) robot budget. We provide a detailed complexity analysis including results on approximations as well as polynomial-time algorithms for the general setting and important restricted settings.

研究动机与目标

• 分析在三种不同预算约束（总预算、任务特定预算、机器人特定预算）下多机器人任务分配的计算复杂性。
• 为 ST-MR-IA 问题开发具有可证明性能保证的多项式时间近似算法。
• 在标准复杂性假设下建立紧致的不可近似性界限。
• 刻画当每个任务的最大机器人数量（$ q^* $）有界时，该问题的可解性。
• 探索参数化和特殊情形下的解法，特别是对称成本下实现了 PTAS。

提出的方法

• 形式化 ST-MR-IA 问题，引入三种预算约束：总预算、任务预算和机器人预算。
• 通过引入虚拟机器人，将标准任务需求统一为 $ q^* $，将任务分配问题转化为广义集合打包问题。
• 应用 $ \frac{k}{2} $-近似算法求解 $ k $-集合打包问题，从而在 MaxTaskWithinRobotBudget 和 MaxTasksWithinTaskBudget 问题中实现 $ \frac{q^*+1}{2} $-近似。
• 借助与单位收益的二维背包问题的等价性，设计出在对称成本下 MaxTaskWithinTotalBudget 的 PTAS。
• 利用归约方法证明，除非 P = NP，否则不存在多项式时间算法能实现优于 $ (q^*)^{1-\epsilon} $ 的近似比。
• 分析 $ q^* $ 为常数的特殊情况，表明可获得更优的近似比和可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在总预算、任务特定预算和机器人特定预算约束下，如何分配机器人以最大化完成的任务数？其计算复杂性如何？
• RQ2 当每个任务的最大机器人数量（$ q^* $）有界时，能否为 ST-MR-IA 问题实现常数因子近似？
• RQ3 在对称成本下，MaxTaskWithinTotalBudget 是否存在多项式时间近似方案（PTAS）？
• RQ4 在标准复杂性假设下，可实现的最佳近似比是什么？这些界限是否紧致？
• RQ5 当所有任务所需的机器人数量相同时，问题的复杂性如何变化？

主要发现

• 当 $ q^* $ 有界为常数时，MaxTaskWithinRobotBudget 和 MaxTasksWithinTaskBudget 存在 $ \frac{q^*+1}{2} $-近似算法。
• 在对称成本下，MaxTaskWithinTotalBudget 存在多项式时间近似方案（PTAS）。
• 除非 P = NP，否则不存在多项式时间算法能实现优于 $ (q^*)^{1-\epsilon} $ 的近似比（对任意固定的 $ \epsilon > 0 $）。
• 即使所有任务恰好需要两台机器人，该问题仍为 NP-难，因此 $ q^* = 2 $ 时 MaxTaskWithinTaskBudget 的复杂性仍为开放问题。
• 贪心算法可实现 $ q^* + 1 $ 近似，当 $ q^* $ 为常数时，该比值可改进为 $ \frac{q^*+1}{2} $。