[论文解读] Multi-scale methods for wave propagation in heterogeneous media

Björn Engquist, Henrik Holst+1 more|ArXiv.org|Nov 13, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种异质多尺度方法（HMM），用于求解具有快速振荡系数的异质介质中的波传播问题。通过将宏观尺度波模拟与局部微观尺度求解相结合，该方法实现了最优计算效率——几乎与小尺度ε无关——同时保持了二阶精度，并在1D、2D和3D的周期性和非周期性问题中成功捕捉了长时间的色散效应。

ABSTRACT

Multi-scale wave propagation problems are computationally costly to solve by traditional techniques because the smallest scales must be represented over a domain determined by the largest scales of the problem. We have developed and analyzed new numerical methods for multi-scale wave propagation in the framework of heterogeneous multi-scale method. The numerical methods couples simulations on macro- and micro-scales for problems with rapidly oscillating coefficients. We show that the complexity of the new method is significantly lower than that of traditional techniques with a computational cost that is essentially independent of the micro-scale. A convergence proof is given and numerical results are presented for periodic problems in one, two and three dimensions. The method is also successfully applied to non-periodic problems and for long time integration where dispersive effects occur.

研究动机与目标

• 解决传统方法在求解具有高度振荡系数的波方程时计算成本过高的问题。
• 开发一种多尺度数值框架，通过耦合宏观与微观尺度模拟来降低计算复杂度。
• 为具有周期性系数的多维情形下的HMM提供严格的收敛性证明。
• 在非周期性问题和长时间积分中展示该方法的鲁棒性，包括色散效应的捕捉。
• 使在均质化方程未知或不适用的场景下，多尺度波求解器得以实际应用。

提出的方法

• 采用异质多尺度方法（HMM）框架，其中宏观尺度波解通过由局部微观尺度求解计算得到的通量来推进。
• 在宏观和微观尺度上均采用二阶有限差分格式，以确保空间和时间上的精度。
• 通过在每个宏观点周围的小区块上求解微观尺度波方程，计算宏观网格点上的有效通量。
• 在微观尺度上使用交错平均来近似空间导数，以在多维模板中保持二阶精度。
• 将该方法应用于具有周期性和非周期性系数结构的1D、2D和3D问题。
• 在宏观和微观尺度上均采用基于Newmark类蛙跳格式的时间推进方案，以确保稳定性和精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 HMM框架能否在多维情形下严格应用于具有振荡系数的多尺度波方程？
• RQ2 HMM在异质介质中波传播问题上的收敛速率和计算复杂度如何？
• RQ3 在长时间波模拟中，当均质化解表现出非平凡行为时，HMM对色散效应的捕捉能力如何？
• RQ4 当系数结构为非周期性、经典均质化理论不适用时，HMM能否被推广？
• RQ5 与标准方法相比，HMM的计算成本是否随小参数ε的减小而有利地增长？

主要发现

• 对于具有周期性系数的1D、2D和3D波传播问题，HMM在空间和时间上均实现了二阶精度。
• 该方法的计算成本几乎与小尺度ε无关，相较于必须全局解析ε的标准方法具有显著优势。
• 在多维周期性情形下，建立了HMM的严格收敛性证明，误差界与均质化理论的理论预期一致。
• 该方法成功捕捉了长时间波传播中的色散效应，即使均质化解中包含未显式建模的项。
• 数值结果证实了该方法在非周期性系数问题上的鲁棒性能，证明了其在理论假设之外的适用性。
• 该格式在长时间积分中保持了稳定性和精度，无需在宏观方程中显式建模色散项。