[论文解读] Multi-scale turbulence modeling and maximum information principle. Part 1

Limin Tao|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2010

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于最大信息原理的不可压缩牛顿流体多尺度湍流建模框架，用于推导跨空间尺度的湍流脉动的无偏概率密度函数。通过在等式与不等式约束下最大化信息量——特别是源自柯西-施瓦茨不等式的约束——该方法将模型闭合至四阶相关性，同时采用计算上可行的替代方法（如协方差矩阵的迹与行列式）来规避直接信息最大化的计算不可行性，从而获得一个闭合的、基于信息论的模型，适用于均匀湍流，初步结果表现良好。

ABSTRACT

We discuss averaged turbulence modeling of multi-scales of length for an incompressible Newtonian fluid, with the help of the maximum information principle. We suppose that there exists a function basis to decompose the turbulent fluctuations in a flow of our concern into the components associated with various spatial scales and that there is a probability density function $\pdf$ of these fluctuation components. The unbiased form for $\pdf$ is determined and the turbulence model is closed, with the multi-scale correlations up to the fourth order, through maximizing the information under the constraints of equality and inequality for that flow. Due to the computational difficulty to maximize the information, a closely related but simple alternative objective is sought, like the determinant or the trace of the second order correlations of the turbulent flow. Some preliminary results and implications from the application to homogeneous turbulence are presented. Some issues yet to be resolved are indicated.

研究动机与目标

• 开发一种适用于不可压缩牛顿流体的统计一致、多尺度湍流模型，以解析空间尺度间的相关性。
• 通过应用最大信息原理来确定脉动分量的无偏概率密度函数，解决多尺度湍流建模中的闭合问题。
• 通过寻求迹与协方差矩阵行列式等更简单的相关目标函数，克服信息最大化过程中的计算不可行性。
• 在均匀湍流这一多尺度建模的典型测试案例中，检验该模型的可行性与物理解释性。
• 识别并解决将该框架推广至非均匀、壁面约束及复杂流动时所面临的基本挑战。

提出的方法

• 假设函数基将湍流速度与压力脉动分解为与不同空间尺度相关的分量。
• 在波数空间与物理空间中制定统计约束，包括来自纳维-斯托克斯方程的等式约束以及柯西-施瓦茨不等式等不等式约束。
• 应用最大信息原理，在这些约束下推导出脉动分量联合概率密度函数 f 的无偏形式。
• 以计算上可行的替代方法取代难以处理的信息最大化过程：采用二阶相关矩阵 βij 的迹（总脉动能量）与行列式（非高斯性）。
• 推导出包含至四阶相关性的闭合湍流模型，且除所选目标函数外不引入额外自由参数。
• 通过谱方法与统计方法，在均匀湍流的特例中验证该模型，评估其与直接数值模拟（DNS）及实验数据的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大信息原理能否有效应用于多尺度湍流建模，以生成无偏且闭合的脉动统计模型？
• RQ2 在保持物理解释一致性的同时，如何解决信息最大化带来的计算不可行性问题？
• RQ3 将协方差矩阵的迹与行列式作为信息最大化的代理目标函数，其物理含义与影响为何？
• RQ4 所得到的模型在均匀湍流背景下是否能产生物理解释合理的预测结果？
• RQ5 将该框架推广至非均匀与壁面约束湍流时，面临的关键挑战是什么？

主要发现

• 最大信息原理成功推导出一个闭合的多尺度湍流模型，可闭合至四阶相关性，其核心在于在物理解释与统计约束下确定联合概率密度函数的无偏形式。
• 该模型结构最简，除所选目标函数外不包含额外系数，且无需对高阶项进行经验建模即可实现闭合。
• 均匀湍流的初步结果表明，该模型与直接数值模拟（DNS）及实验数据相容，尤其在均匀剪切湍流中表现良好。
• 将协方差矩阵的迹作为目标函数具有物理解释基础，因其对应于流场中的总脉动能量。
• 协方差矩阵的行列式是捕捉轻微非高斯流场中非高斯行为的合适替代目标函数。
• 将该框架推广至非均匀流场仍面临重大挑战，包括波数局部性、高波数各向同性以及物理空间中一致不等式约束的构建等问题。