[论文解读] Multi-type Sequent Calculi

Sabine Frittella, Giuseppe Greco+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 7被引用 19

一句话总结

本文提出了多类型sequent演算，通过允许多种公式的类型并弱化显示和可见性性质，对显示演算进行推广，从而为更广泛的非经典逻辑（包括不封闭于均匀代换或缺乏伴随/剩余连接词的多模态和动态逻辑）提供一种规范的消去剪切过程。

ABSTRACT

Display calculi are generalized sequent calculi which enjoy a `canonical' cut elimination strategy. That is, their cut elimination is uniformly obtained by verifying the assumptions of a meta-theorem, and is preserved by adding or removing structural rules. In the present paper, we discuss a proof-theoretic setting, inspired both to Belnap's Display Logic and to Sambin's Basic Logic, which generalises these calculi in two directions: by explicitly allowing different types, and by weakening the so-called display and visibility properties. The generalisation to a multi-type environment makes it possible to introduce specific tools enhancing expressivity, which have proved useful e.g. for a smooth proof-theoretic treatment of multi-modal and dynamic logics. The generalisation to a setting in which full display property is not required makes it possible to account for logics which admit connectives which are neither adjoints nor residuals, or logics that are not closed under uniform substitution. In the present paper, we give a general overview of the calculi which we refer to as multi-type calculi, and we discuss their canonical cut elimination meta-theorem.

研究动机与目标

• 解决非经典逻辑缺乏统一、可推广的 proof-theoretic 框架的问题，特别是那些不封闭于均匀代换或缺乏伴随/剩余连接词的逻辑。
• 通过开发一种规范的、模块化的 proof-theoretic 方法论，克服临时构造的证明系统，使其适用于逻辑家族的广泛适用。
• 通过引入多种类型并放松显示和可见性性质，推广显示演算，以增强表达力和适用性。
• 通过将动作和参与者等参数视为一等类型，实现对动态逻辑和多模态逻辑的平滑 proof-theoretic 处理。
• 建立一个剪切消去的元定理，统一适用于满足一组结构条件的所有演算，确保 proof-theoretic 的稳健性。

提出的方法

• 引入多类型框架，将公式划分为不同且互不相交的类型（例如，公式、动作、参与者），允许类型特定的连接词和结构操作。
• 弱化可见性和显示性质，允许规则中的活动上下文非空，且公式可出现在非孤立位置。
• 定义一组结构条件（C'1–C'7），推广显示演算的元定理，确保在添加或移除规则时剪切消去得以保持。
• 使用显示公理和类型相似的代换，转换推导，并通过推导高度的结构归纳法实现剪切消去。
• 通过验证其演算上的条件，将元定理应用于具体逻辑（例如，动态认识逻辑、单调模态逻辑）以推导剪切消去。
• 引入参数化和主移动变换，处理涉及结构规则的剪切，确保类型一致性以及代换的可接受性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为推广显示演算的多类型sequent演算建立规范的剪切消去过程？
• RQ2 如何弱化显示和可见性性质，以容纳具有非伴随连接词或不封闭于均匀代换的逻辑？
• RQ3 多类型演算的哪些结构条件能保证在规则修改下剪切消去的保持？
• RQ4 多类型框架在何种程度上改善了对动态和多模态逻辑的 proof-theoretic 处理？
• RQ5 如何通过单一元理论框架，统一地将剪切消去应用于非经典逻辑家族？

主要发现

• 所提出的多类型sequent演算支持一个统一适用的规范剪切消去元定理，适用于广泛的非经典逻辑类别。
• 对可见性和显示性质的放松，使得能够处理具有非伴随或非剩余连接词的逻辑，如单调模态逻辑。
• 该框架通过将动作和参与者视为一等类型，实现了对动态逻辑的平滑 proof-theoretic 处理，提升了表达力和模块化程度。
• 只要满足结构条件（C'1–C'7），剪切消去在结构规则添加或移除时仍能保持。
• 在给定条件下，推导中参数的代换是可接受的，确保了类型一致性和剪切消去变换的正确性。
• 通过在剪切消去步骤中结合主移动和参数化移动，该方法成功处理了复杂的结构规则（例如涉及非交换复合的规则）。