[论文解读] Multi-valued variational inequalities for variable exponent double phase problems: comparison and extremality results

Siegfried Carl, Vy Khoi Le+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2022

Contact Mechanics and Variational Inequalities被引用 5

一句话总结

本文在Musielak-Orlicz-Sobolev空间中，针对含变指数双相位算子的多值变分不等式，建立了存在性、比较性及极值性结果。通过在约束集上引入弱强制性与格条件下的上下解方法，证明了极值解的存在性，并将该框架应用于广义变分-半变分不等式及不连续Nemytskij算子，借助不动点论证实现。

ABSTRACT

We prove existence and comparison results for multi-valued variational inequalities in a bounded domain $Ω$ of the form \begin{equation*} u\in K\,:\, 0 \in Au+\partial I_K(u)+\mathcal{F}(u)+\mathcal{F}_Γ(u)\quad ext{in }W^{1,\mathcal{H}}(Ω)^*, \end{equation*} where $A\colon W^{1, \mathcal{H}}(Ω) o W^{1, \mathcal{H}}(Ω)^*$ given by \begin{equation*} Au:=- ext{div}\left(| abla u|^{p(x)-2} abla u+ μ(x) | abla u|^{q(x)-2} abla u ight) \end{equation*} for $u \in W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$, is the double phase operator with variable exponents and $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ is the associated Musielak-Orlicz Sobolev space. First, an existence result is proved under some weak coercivity condition. Our main focus aims at the treatment of the problem under consideration when coercivity fails. To this end we establish the method of sub-supersolution for the multi-valued variational inequality in the space $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ based on appropriately defined sub- and supersolutions, which yields the existence of solutions within an ordered interval of sub-supersolution. Moreover, the existence of extremal solutions will be shown provided the closed, convex subset $K$ of $W^{1, \mathcal{H}}(Ω)$ satisfies a lattice condition. As an application of the sub-supersolution method we are able to show that a class of generalized variational-hemivariational inequalities with a leading double phase operator are included as a special case of the multi-valued variational inequality considered here. Based on a fixed point argument, we also study the case when the corresponding Nemytskij operators $\mathcal{F}, \mathcal{F}_Γ$ need not be continuous. At the end, we give a nontrivial example of the construction of sub- and supersolutions related to the problem above.

研究动机与目标

• 在有界区域中，为由变指数双相位算子驱动的多值变分不等式建立存在性与比较性结果。
• 通过在Musielak-Orlicz-Sobolev空间中构建上下解框架，处理标准强制性条件失效的情形。
• 在凸约束集 $K$ 上满足格条件的前提下，证明极值解的存在性。
• 表明含双相位算子的广义变分-半变分不等式可作为该框架的特例包含在内。
• 通过不动点论证，将理论推广至不连续Nemytskij算子，且无需假设多值函数的连续性。

提出的方法

• 在与双相位算子 $Au = -\operatorname{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u + \mu(x)|\nabla u|^{q(x)-2}\nabla u)$ 相关的Musielak-Orlicz-Sobolev空间 $W^{1, ho}( abla)$ 中表述问题。
• 利用变分不等式结构及指示函数 $\partial I_K(u)$ 的次微分，在 $W^{1, ho}\left(\nabla\right)$ 中定义上下解。
• 通过证明任意有序的上下解对可控制其间的解，建立上下解方法。
• 使用不动点论证处理不连续Nemytskij算子 $\mathcal{F}, \mathcal{F}_\Gamma$，且无需假设多值函数 $f, f_\Gamma$ 的连续性。
• 应用格条件 $K \wedge K \subset K$ 与 $K \vee K \subset K$，以确保解集中存在最小解与最大解。
• 通过构造具有 $L^\infty$-数据的辅助Dirichlet问题的解，显式构造上下解，以验证方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当强制性条件失效时，含变指数双相位算子的多值变分不等式在何种条件下存在解？
• RQ2 如何将上下解方法适配于Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非强制性的多值变分不等式？
• RQ3 约束集 $K$ 需满足何种条件，才能保证解集中存在极值解？
• RQ4 广义变分-半变分不等式是否可作为所提框架的特例被包含？
• RQ5 在此框架下，如何处理不连续Nemytskij算子而无需假设连续性？

主要发现

• 在 $W^{1,\mathcal{H}}(\Omega)$ 中，于弱强制性条件下建立了多值变分不等式的存在性结果。
• 上下解方法成功扩展至非强制情形，证明了解存在于上下解构成的有序区间内。
• 在 $K$ 上满足格条件时，解集 $\mathcal{S}$ 是紧致的，且包含最小解与最大解。
• 所提框架表明，含双相位算子的广义变分-半变分不等式类是其特例。
• 通过不动点论证处理不连续Nemytskij算子 $\mathcal{F}, \mathcal{F}_\Gamma$，允许多值源项不连续。
• 通过构造具有 $L^\infty$-数据的Dirichlet问题的解，显式构造了上下解，验证了该方法的适用性。