[论文解读] Multi-way expansion constants and partitions of a graph

Mamoru Tanaka|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2011

Graph theory and applications参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文建立了有限图的 $k$-路扩张常数与其在 $k$-划分下的子图扩张常数之间的关系，证明了具有统一有界 $k+1$-路扩张常数和度数的图序列可被划分为至多 $k$ 个膨胀图序列。关键结果是此类序列不能粗略嵌入到任何希尔伯特空间中，从而扩展了经典膨胀图的已知非嵌入性结果。

ABSTRACT

In this paper, we consider a relation between $k$-way expansion constant of a finite graph and the expansion constants of subgraphs in a $k$-partition of the graph. Using this relation, we show that a sequence of finite graphs which have uniformly bounded $k+1$-way expansion constants and uniformly bounded degrees can be divided into $k$ or less sequences of expanders. Furthermore, we prove that such sequence of finite graphs is not coarsely embeddable into any Hilbert space.

研究动机与目标

• 研究图的 $k$-路扩张常数与其在 $k$-划分下诱导子图的扩张常数之间的关系。
• 刻画具有统一有界 $k+1$-路扩张常数和度数的有限图序列，并确定其结构分解。
• 证明此类序列不能粗略嵌入到任何希尔伯特空间中，从而扩展经典膨胀图的非嵌入性结果。
• 将谱图论（拉普拉斯特征值）与扩张性质及粗几何联系起来。

提出的方法

• 引入一个新不等式，关联 $k$-路扩张常数 $h_k(G)$ 与 $k$-划分中子图的最小扩张常数，证明 $\frac{h_{k+1}(G)}{3^{k+1}} \leq \min_i h(G^i)$ 以及 $\max_i \frac{|\partial V^i|}{|V^i|} \leq 3^k h_k(G)$。
• 利用该不等式，证明任何具有统一有界 $k+1$-路扩张常数和度数的有限图序列，均可分解为至多 $k$ 个经典膨胀图序列。
• 应用粗几何结果，特别是希尔伯特空间中的粗略嵌入概念，证明此类序列不能粗略嵌入。
• 利用谱图论，将图拉普拉斯矩阵的第 $k$ 个特征值 $\lambda_k(G)$ 与 $k$-路扩张常数 $h_k(G)$ 联系起来，使用 Lee-Gharan-Trevisan 的已知不等式。
• 通过在 $\ell^2$ 中使用度量嵌入 $\rho_1$ 的反证法，证明若序列中存在边界比缩小的膨胀图子序列，则其不能粗略嵌入。
• 建立非粗略嵌入的充分条件：存在一列诱导子图 $H_n$，其为膨胀图且满足 $|\partial V_{H_n}|/|V_{H_n}| \to 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的 $k$-路扩张常数能否由其 $k$-划分子图的最小扩张常数下界控制？
• RQ2 在何种条件下，具有统一有界 $k+1$-路扩张常数的有限图序列可被分解为有限个经典膨胀图序列？
• RQ3 具有统一有界度数和正 $k+1$-路扩张常数的有限图序列能否粗略嵌入到任何希尔伯特空间中？
• RQ4 图拉普拉斯矩阵的特征值与多路扩张常数之间有何关系？该关系能否用于推导非嵌入性结果？
• RQ5 诱导子图的何种结构条件可导致图序列不能粗略嵌入到希尔伯特空间中？

主要发现

• 对于任意有限图 $G$ 的 $k$-划分，不等式 $\frac{h_{k+1}(G)}{3^{k+1}} \leq \min_{1 \leq i \leq k} h(G^i)$ 成立，将全局扩张与局部扩张联系起来。
• 若 $h_{k+1}(G)/3^{k+1} > h_k(G)$，则存在一个 $k$-划分，使得 $\max_i \frac{|\partial V^i|}{|V^i|} \leq 3^k h_k(G)$，表明子图中扩张受控。
• 任何具有统一有界 $k+1$-路扩张常数和度数的有限图序列，均可划分为至多 $k$ 个经典膨胀图序列。
• 此类序列不能粗略嵌入到任何希尔伯特空间中，推广了经典膨胀图的已知结果。
• 若图序列中包含一列诱导膨胀图 $H_n$ 满足 $|\partial V_{H_n}|/|V_{H_n}} \to 0$，则该序列不能粗略嵌入到任何希尔伯特空间中。
• 该结果可推广至满足 $\lambda_k(G_n) \to 0$ 对所有 $k$ 成立的序列，表明在给定条件下谱衰减意味着非嵌入性。