[论文解读] Multi-window STFT phase retrieval: lattice uniqueness

Philipp Grohs, Lukas Liehr+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2022

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用 4

一句话总结

该论文通过引入基于厄米函数构造的四个高斯窗的多窗方法，解决了单窗STFT相位恢复在格点上的根本性局限。证明了当使用四个适当选择的窗函数且格点密度 |det A|⁻¹ ≥ 4（实值函数情况下为 ≥2）时，L²(R) 中任意函数 f 可在全局相位意义下唯一恢复，从而突破了单窗采样已知的非唯一性障碍。

ABSTRACT

Short-time Fourier transform (STFT) phase retrieval refers to the reconstruction of a function $f$ from its spectrogram, i.e., the magnitudes of its short-time Fourier transform $V_gf$ with window function $g$. While it is known that for appropriate windows, any function $f \in L^2(\mathbb{R})$ can be reconstructed from the full spectrogram $|V_g f(\mathbb{R}^2)|$, in practical scenarios, the reconstruction must be achieved from discrete samples, typically taken on a lattice. It turns out that the sampled problem becomes much more subtle: recent results have demonstrated that uniqueness via lattice-sampling is unachievable, irrespective of the choice of the window function or the lattice density. In the present paper, we initiate the study of multi-window STFT phase retrieval as a way to effectively bypass the discretization barriers encountered in the single-window case. By establishing a link between multi-window Gabor systems, sampling in Fock space, and phase retrieval for finite frames, we derive conditions under which square-integrable functions can be uniquely recovered from spectrogram samples on a lattice. Specifically, we provide conditions on window functions $g_1, \dots, g_4 \in L^2(\mathbb{R})$, such that every $f \in L^2(\mathbb{R})$ is determined up to a global phase from $$\left(|V_{g_1}f(A\mathbb{Z}^2)|, \, \dots, \, |V_{g_4}f(A\mathbb{Z}^2)| ight)$$ whenever $A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ satisfies the density condition $|\det A|^{-1} \geq 4$. For real-valued functions, a density of $|\det A|^{-1} \geq 2$ is sufficient. Corresponding results for irregular sampling are also shown.

研究动机与目标

• 解决使用单个窗函数在格点上采样时STFT相位恢复的根本非唯一性问题。
• 突破理论障碍：即不存在任何单个窗函数与格点组合能保证在全局相位意义下唯一恢复。
• 构建多窗框架，通过增加采样冗余性，恢复离散相位恢复中的唯一性。
• 建立在格点上从多个窗的谱密度样本中唯一恢复平方可积函数的条件。
• 将结果推广至非规则采样，并表明实值函数的密度要求可降低。

提出的方法

• 使用由前两个厄米函数 h₀ 和 h₁ 的线性组合定义的多窗Gabor系统。
• 利用Bargmann变换将STFT相位恢复问题转化为Fock空间中的采样与唯一性问题。
• 通过Fock空间中的采样与有限维框架相位恢复之间的对偶性，将问题与有限维相位恢复联系起来。
• 在Fock空间中运用对称性与对偶性论证，利用实值函数在Fock空间表示中具有共轭对称性的事实。
• 通过使用平移格点与子格分解（如 Γ₁, Γ₂）构造在复共轭下封闭的唯一性集合。
• 证明：若窗族 {gₚ}ₚ∈P 在 C² 中实现相位恢复，则多窗系统可从格点样本中唯一恢复 f ∈ L²(R)（至全局相位）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用单个窗函数，从格点上的STFT谱密度样本中唯一恢复 f ∈ L²(R)？
• RQ2 恢复离散STFT相位恢复中唯一性的最小窗数是多少？
• RQ3 唯一性所需的格点密度如何依赖于 f 是复值还是实值？
• RQ4 结果能否推广到非格点（不规则）采样集？
• RQ5 Fock空间采样理论与有限维相位恢复之间的对偶性在解决多窗相位恢复问题中起什么作用？

主要发现

• 对于复值函数，当 |det A|⁻¹ ≥ 4 时，L²(R) 中任意 f 可通过四个窗 {g₁, g₂, g₃, g₄}（定义为 h₀ 与 h₁ 的线性组合）从格点 AZ² 上的谱密度样本中唯一恢复（至全局相位）。
• 对于实值函数，所需格点密度降低至 |det A|⁻¹ ≥ 2，通过使用平移格点 (0, β/4)ᵀ + AZ² 实现。
• 该结果对非规则采样集也成立：若集合 Λ ⊆ C 是 A(L²(R)) 的唯一性集合且在复共轭下对称，则其与上半平面的交集可确保在 L²(R, R) 上实现相位恢复。
• 平移格点 Γ₁ = (0, β/2)ᵀ + (αZ × 2βZ) 与 Γ₂ = (0, β/2)ᵀ + (αZ × βZ)（使用旋转后的基向量）在与共轭组合时，对实值函数均可实现相位恢复。
• 证明建立了STFT域中相位盲采样与有限维相位恢复之间的对偶性，从而可利用Fock空间与框架理论中的已知结果。
• 构造是显式的：四个窗可选择为高斯函数与第一个厄米函数的线性组合，使该方法在实际应用中具有可行性。