[论文解读] Multicolor Ramsey numbers of cycles in Gallai colorings

Fangfang Zhang, Zi‐Xia Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

Limits and Structures in Graph Theory被引用 7

一句话总结

本文在无彩虹三角形的Gallai染色下，确立了奇数和偶数环的多色Ramsey数——证明了对所有 $k \geq 1$ 和 $n \geq 2$，有 $GR_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$；对所有 $k \geq 2$ 和 $n \geq 3$，有 $GR_k(C_{2n}) = (n-1)k + n + 1$。这些结果在结构化的、无三角形的边染色框架下统一并拓展了先前的猜想与界限。

ABSTRACT

For a graph $H$ and an integer $k\ge1$, the $k$-color Ramsey number $R_k(H)$ is the least integer $N$ such that every $k$-coloring of the edges of the complete graph $K_N$ contains a monochromatic copy of $H$. Let $C_m$ denote the cycle on $m\ge4 $ vertices. For odd cycles, Bondy and Erdős [Ramsey numbers for cycles in graphs, J. Combin. Theory, Ser. B 14 (1973) 46--54] conjectured that for all $k\ge1$ and $n\ge2$, $R_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1.$ Recently, this conjecture has been verified to be true for all fixed $k$ and all $n$ sufficiently large by Jenssen and Skokan; and false for all fixed $n$ and all $k$ sufficiently large by Day and Johnson. In this paper, we first prove that the aforementioned conjecture of Bondy and Erdős holds for all $k$ and all $n$ under Gallai colorings, where a Gallai coloring is a coloring of the edges of a complete graph without rainbow triangles. For a graph $H$ and an integer $k\geq 1$, we define $GR_k(H)$ to be the least positive integer $N$ such that every Gallai $k$-coloring of the complete graph $K_N$ contains a monochromatic copy of $H$. We prove that for all $k\geq 1$ and $n\geq 2$, $GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$. Even cycles behave rather differently in this context. Little is known about the behavior of $R_k(C_{2n})$ in general except that $R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$ for all $k\ge2$ and $n\ge2$. We prove that $GR_k( C_{2n})= (n-1)k+n+1$ for all $k\geq 2$ and $n\geq 3$. Each of our main results yields a unified proof for all odd cycles and all even cycles, respectively.

研究动机与目标

• 在不允许出现彩虹三角形的Gallai染色下，解决多色Ramsey数在环上的行为问题。
• 尽管在一般 $k$-染色中该猜想不成立，仍验证Gallai设定下奇数环的Bondy-Erdős猜想。
• 为Gallai染色中奇数和偶数环的Ramsey数建立统一的计算框架。
• 将偶数环已知的下界扩展为Gallai染色约束下的精确值。

提出的方法

• 将 $GR_k(H)$ 定义为最小的 $N$，使得每个 $K_N$ 的Gallai $k$-染色都包含 $H$ 的单色副本，重点研究环 $C_m$。
• 利用Gallai染色的结构特性——特别是无彩虹三角形——将问题简化为更简单的递归染色配置。
• 对颜色数 $k$ 进行归纳，推导出 $GR_k(C_{2n+1})$ 和 $GR_k(C_{2n})$ 的精确值。
• 证明Gallai染色可递归分解为双色分量，从而支持归纳证明。
• 利用已知的 $R_k(C_{2n})$ 边界，并将其适配到Gallai设定中，以推导出紧确的精确值。
• 通过结构和极值论证，证明在Gallai染色中，奇数环的猜想值 $n \cdot 2^k + 1$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bondy-Erdős猜想对奇数环 $R_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$ 在Gallai染色下是否成立？
• RQ2 当 $k \geq 2$ 且 $n \geq 3$ 时，偶数环的 $GR_k(C_{2n})$ 的精确值是多少？
• RQ3 能否为Gallai染色中奇数和偶数环的Ramsey数建立统一的计算框架？
• RQ4 避免彩虹三角形的Gallai染色与一般染色相比，如何改变多色Ramsey数的行为？

主要发现

• 对所有 $k \geq 1$ 和 $n \geq 2$，奇数环的Gallai $k$-染色Ramsey数满足 $GR_k(C_{2n+1}) = n \cdot 2^k + 1$，在该受限设定下确认了Bondy-Erdős猜想。
• 对所有 $k \geq 2$ 和 $n \geq 3$，偶数环的Gallai $k$-染色Ramsey数精确为 $GR_k(C_{2n}) = (n-1)k + n + 1$，提供了紧确的精确值。
• 结果统一了Gallai染色下奇数和偶数环的处理方式，表明两类环均满足简洁的闭式表达。
• 推导出的 $GR_k(C_{2n+1})$ 和 $GR_k(C_{2n})$ 值为最优，无法改进，因为其与偶数情况下的已知下界一致，并将奇数情况扩展至Gallai染色。
• 证明技术表明，Gallai染色提供了更强的结构控制，使得在一般 $k$-染色中无法确定的Ramsey数在此设定下可精确求解。
• 结果表明，一般 $k$-染色中Bondy-Erdős猜想的失效并不延伸至Gallai染色，在该设定下奇数环的猜想对所有情况均成立。