[论文解读] Multidimensional Gravity with Einstein Internal Spaces

В. Д. Иващук, V. N. Melnikov|ArXiv.org|Dec 5, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用 19

一句话总结

本文研究了一个具有爱因斯坦空间作为内部维度的多维引力模型，重点关注 $N_0 = 3,4,6$（总维度 $D=11,10,11$）的球对称真空解。通过 $\sigma$-模型形式化推导出精确解，并证明在非欧几里得度规符号下，黎曼张量平方在 $\mathbb{R}^{N_0}$ 中的超球面上发散，表明存在曲率奇点。

ABSTRACT

A multidimensional gravitational model on the manifold $M = M_0 imes \prod_{i=1}^{n} M_i$, where M_i are Einstein spaces ($i \geq 1$), is studied. For $N_0 = dim M_0 > 2$ the $σ$ model representation is considered and it is shown that the corresponding Euclidean Toda-like system does not satisfy the Adler-van-Moerbeke criterion. For $M_0 = R^{N_0}$, $N_0 = 3, 4, 6$ (and the total dimension $D = dim M = 11, 10, 11$, respectively) nonsingular spherically symmetric solutions to vacuum Einstein equations are obtained and their generalizations to arbitrary signatures are considered. It is proved that for a non-Euclidean signature the Riemann tensor squared of the solutions diverges on certain hypersurfaces in $R^{N_0}$.

研究动机与目标

• 研究具有 $M_0 \times \prod_{i=1}^n M_i$ 结构的多维引力模型，其中 $M_i$ 为爱因斯坦空间。
• 为特定的 $N_0$ 和总维度 $D=11,10,11$ 推导出精确的非奇点球对称真空解。
• 分析在任意符号下黎曼张量平方的行为，特别是其在非欧几里得情况下的发散性。
• 将解推广至欧几里得符号之外，并研究曲率奇点。

提出的方法

• 在流形 $M = M_0 \times \prod_{i=1}^n M_i$ 上构建模型，采用包含 $M_0$ 上尺度因子 $\gamma, \phi^i$ 的度规的翘曲积形式。
• 从带有宇宙学常数的爱因斯坦-希尔伯特作用量推导场方程，得到 $M_0$ 上的有效方程。
• 对 $N_0 > 2$ 使用 $\sigma$-模型表示，表明相互作用势不满足 Adler-van-Moerbeke 可积性准则。
• 对中等超度规进行对角化，以获得更明确的 $\sigma$-模型形式。
• 通过广义 Toda 类似系统，为 $N_0 = 3,4,6$ 构造精确解，适用于 $M_0 = \mathbb{R}^{N_0}$。
• 显式计算黎曼张量平方 $I[g]$ 并分析其在非欧几里得符号下的发散结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有爱因斯坦内部空间的多维引力中，为 $N_0 = 3,4,6$ 构造出非奇点的球对称真空解？
• RQ2 在 $N_0$-维度量的非欧几里得符号下，黎曼张量平方是否在 $\mathbb{R}^{N_0}$ 中的超曲面上发散？
• RQ3 在 $\sigma$-模型形式化中出现的 Toda 类似系统，对于 $N_0 > 2$ 是否满足 Adler-van-Moerbeke 可积性准则？
• RQ4 解如何推广至 $M_0$ 度量的任意符号？
• RQ5 曲率不变量（特别是 $I[g] = R_{MNPQ}R^{MNPQ}$）在非欧几里得情况下的行为如何？

主要发现

• 为 $M_0 = \mathbb{R}^3$、$\mathbb{R}^4$ 和 $\mathbb{R}^6$ 获得了精确的非奇点球对称解，对应总维度 $D=11,10,11$。
• 在非欧几里得符号下，黎曼张量平方 $I[g]$ 在 $\mathbb{R}^{N_0}$ 中的广义超球面上发散。
• 对于 $N_0 > 2$，$\sigma$-模型表示中的势能不满足 Adler-van-Moerbeke 可积性准则，表明系统不可积。
• 解被推广至任意符号，且证明在非欧几里得情况下，$I[g]$ 的发散发生在 $\mathbb{R}^{N_0}$ 中的超曲面上。
• 提出了一种 de-Sitter 膜解作为该模型框架下的物理实例。
• 该模型对十维超弦引力仅给出一个精确解，对十一维超引力和 M-理论则给出两个精确解。