[论文解读] Multidimensional Lévy White Noises in Weighted Besov Spaces

Julien Fageot, Alireza Fallah+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 34被引用 3

一句话总结

本论文利用小波方法和广义矩估计，建立了加权和局部贝索夫空间中多维 Lévy 白噪声的贝索夫正则性。关键贡献是通过控制局部和全局光滑性与可积性性质的 Blumenthal-Getoor 指数 β₀ 和 β∞，对这些函数空间中几乎必然属于的性质进行了表征。

ABSTRACT

In this paper, we study the Besov regularity of d-dimensional Lévy white noises. More precisely, we describe new sample paths properties of a given white noise in terms of weighted Besov spaces. In particular, the smoothness and integrability properties of Lévy white noises are characterized using the Blumenthal-Getoor indices. Our techniques rely on wavelet methods and generalized moments estimates for Lévy white noises.

研究动机与目标

• 表征在加权和局部贝索夫空间中 d 维 Lévy 白噪声的正则性，这是由于其缺乏点态解释所必需的。
• 将先前关于对称 α 稳定和高斯白噪声的结果推广到 ℝᵈ 上的一般 Lévy 白噪声。
• 利用 Blumenthal-Getoor 指数建立 Lévy 白噪声在加权贝索夫空间中几乎必然属于的充分条件。
• 通过利用贝索夫空间的精细结构，构建一种超越 Sobolev 和 Hölder 空间的正则性测量框架。
• 通过小波和矩估计技术，将现有关于 Lévy 过程的结果推广到白噪声设定。

提出的方法

• 利用温和广义函数空间 𝒮′(ℝᵈ) 中广义随机过程的框架，实现了对 Lévy 白噪声的严格定义。
• 应用基于小波的加权贝索夫空间表征，借助 [44] 中发展的理论分析局部和全局正则性。
• 利用 𝒮(ℝᵈ) 中的测试函数，为 Lévy 白噪声推导广义矩估计，将经典矩技术扩展到白噪声设定。
• 证明了加权贝索夫空间关于 𝒮′(ℝᵈ) 上柱 σ-代数的可测性，从而实现对正则性的概率分析。
• 引入并分析了 Blumenthal-Getoor 指数 β₀（在零处）和 β∞（在无穷远处）作为控制噪声正则性的关键参数的作用。
• 利用 Lévy-Khintchine 表示，构造了具有任意 Blumenthal-Getoor 指数 β₀, β∞ ∈ [0,2] 的 Lévy 白噪声，证明了所有此类配对下其存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般 d 维 Lévy 白噪声在加权和局部贝索夫空间中的贝索夫正则性是什么？
• RQ2 Blumenthal-Getoor 指数 β₀ 和 β∞ 如何表征 Lévy 白噪声的光滑性和可积性？
• RQ3 小波方法和矩估计能否被适配以分析非高斯 Lévy 白噪声的正则性？
• RQ4 Lévy 三元组与相关白噪声的贝索夫正则性之间存在何种关系？
• RQ5 对于光滑性与可积性参数 (p, q, τ) 的哪些取值，Lévy 白噪声会以几乎必然的方式属于给定的加权或局部贝索夫空间？

主要发现

• 当光滑性参数 τ 满足 τ < β∞/p − d/2 且权重参数 ω 与 β₀ 相关时，d 维 Lévy 白噪声以几乎必然的方式属于加权贝索夫空间 B_{p,q}^{τ,ω}(ℝᵈ)。
• Blumenthal-Getoor 指数 β∞ 控制局部正则性：β∞ 越高，局部贝索夫空间中的局部可积性和光滑性越好。
• Blumenthal-Getoor 指数 β₀ 决定加权贝索夫空间中权重的衰减速率，其中 β₀ = 0 对应于 0 阶多项式权重，而 β₀ = 2 对应于对数校正。
• 对于任意 β₀, β∞ ∈ [0,2]，均存在具有这些指数的 Lévy 白噪声，通过构造具有幂律尾部和对数尾部的适当 Lévy 测度 ν 予以证明。
• 结果推广了先前关于高斯和对称 α 稳定白噪声的研究，并将其扩展到 Lévy 白噪声的完整类。
• 该框架允许正则性的局部化：当 τ < β∞/p − d/2 时，Lévy 白噪声以几乎必然的方式属于 B_{p,q}^{τ,loc}(ℝᵈ)，正则性区域如图 2 所示。