[论文解读] Multidimensional Markov FBSDEs with superquadratic growth

Michael Kupper, Peng Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了具有控制变量 Z 的超二次增长生成元的多维马尔可夫正倒向随机微分方程（FBSDEs）的局部与全局存在性及唯一性。该方法结合了使用马尔可夫过程的控制过程的有界性估计与通过粘贴技术将局部解延拓为全局解的方法，在系数满足非退化性与正则性条件下，将先前结果推广至具有任意 Z 增长的耦合多维情形。

ABSTRACT

We give local and global existence and uniqueness results for systems of coupled FBSDEs in the multidimensional setting and with generators allowed to grow arbitrarily fast in the control variable. Our results are based on Malliavin calculus arguments and pasting techniques.

研究动机与目标

• 解决耦合多维 FBSDE 在控制变量 Z 的生成元增长快于二次型时缺乏适定性结果的问题。
• 将现有的一维 FBSDE 局部可解性结果（具有超二次增长）推广至多维情形。
• 在系数满足非退化性与正则性条件下，为这类系统构造全局解。
• 提供一个可扩展至非马尔可夫情形及随机扩散系数情形的框架，前提是 g 的马尔可夫导数满足更强条件。

提出的方法

• 利用马尔可夫过程推导控制过程 Z 的一致有界性，从而在局部利普希茨生成元下实现截断论证。
• 在合适的巴拿赫空间中采用皮卡迭代法证明局部存在性与唯一性，其基础为通过马尔可夫过程导出的 Z 有界性。
• 在小时间区间上应用粘贴过程，将局部解延拓为整个时间区间 T 上的全局解。
• 利用马尔可夫 FBSDE 的 PDE 表示法（如 Delarue [7] 所述），将随机系统与抛物型 PDE 联系起来，从而促进全局解的构造。
• 对生成元 g 施加条件：在对角线上至多二次增长，并假设波动率 σ 非退化，以确保可解性。
• 依赖于在利普希茨情形下，Y 的马尔可夫导数的迹是 Z 的一个版本，该结论通过有界性论证被扩展至处理超二次增长情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 Z 的超二次增长的耦合多维 FBSDE 系统存在唯一解？
• RQ2 用于一维 FBSDE 的马尔可夫过程技术能否扩展至多维情形，以证明控制过程 Z 的有界性？
• RQ3 如何将局部解拼接以获得具有超二次生成元的 FBSDE 的全局解？
• RQ4 波动率 σ 的非退化性在确保此类系统全局可解性中起什么作用？
• RQ5 马尔可夫框架在多大程度上可推广至非马尔可夫或随机扩散系数情形？

主要发现

• 当时间区间足够短且 Z 通过马尔可夫过程实现一致有界时，多维马尔可夫 FBSDE 在 (X,Y) 局部利普希茨且在 Z 局部利普希茨的生成元下存在唯一局部解。
• 在生成元 g 在对角线上至多二次增长且波动率 σ 非退化的假设下，建立了全局存在性与唯一性。
• 控制过程 Z 被一个依赖于问题参数的常数 M̄ 一致有界，从而使得截断与巴拿赫空间中的皮卡迭代成为可能。
• 解属于空间 S²(ℝᵐ) × S∞(ℝˡ) × S∞(ℝˡ×ᵈ)，确保了路径连续性与可积性。
• 粘贴技术通过在长度受问题的利普希茨与增长参数决定的常数约束的区间上连接局部解，实现了全局解的构造。
• 在 g 与 h 的马尔可夫导数满足更强条件的前提下，结果可扩展至非马尔可夫情形与随机扩散系数情形，详见 Luo 的博士论文。