[论文解读] Multidimensional polynomial Euler products and infinitely divisible distributions on R^d

Takahiro Aoyama, Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文将一元 zeta 基 Euler 乘积推广为多维多项式 Euler 乘积，并建立了此类乘积在 ℝ^d 上生成无限可分分布特征函数的充要条件。通过应用 Kronecker 的逼近定理与 Baker 关于对数线性型的定理，作者推导出无限可分性的判别准则，特别针对复合泊松型 zeta 分布。

ABSTRACT

It is known to be difficult to find out whether a certain multivariable function to be a characteristic function when its corresponding measure is not tirivial to be or not to be a probability measure on R^d. Such results were not obtained for a long while. In this paper, multidimensional polynomial Euler product is defined as a generalization of the polynomial Euler product. By applying the Kronecker's approximation theorem, a necessary and sufficient condition for some polynomial Euler products to generate characteristic functions is given. Furthermore, by using the Baker's theorem, that of some multidimensional polynomial Euler products is also given. As one of the most important properties of probability distributions, the infinite divisibility of them is studied as well.

研究动机与目标

• 将一元 zeta 分布与 Euler 乘积的理论推广至高维。
• 确定多维多项式 Euler 乘积在 ℝ^d 上生成有效特征函数的条件。
• 建立此类乘积对应无限可分分布的必要与充分条件。
• 利用分析数论工具分析多维 zeta 型分布的无限可分性。
• 解决验证某些多变量函数是否为概率测度特征函数的困难。

提出的方法

• 将多维多项式 Euler 乘积定义为 ℤ^d 中素数上经典 Euler 乘积的推广。
• 应用 Kronecker 的逼近定理分析模 1 的指数和的稠密性，这对于刻画生成函数的零点自由区域至关重要。
• 利用 Baker 关于对数线性型的定理建立超越性性质，并排除特征函数中的非平凡零点。
• 通过素因数分解与对数缩放构造 Lévy 测度，以表示复合泊松型分布的 Lévy–Khintchine 三元组。
• 分析乘积对数的实部，以确定其是否可通过关于 (e^{i⟨t,x⟩} - 1) 的积分表示为 Lévy 测度。
• 采用渐近估计与收敛性论证，控制无限乘积与级数表示中的尾部贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多维多项式 Euler 乘积是 ℝ^d 上的特征函数？
• RQ2 在何种条件下，多维多项式 Euler 乘积生成无限可分分布？
• RQ3 Kronecker 逼近定理如何用于确定多维特征函数中无零点？
• RQ4 在何种情况下，Baker 关于对数线性型的定理有助于验证某函数不是特征函数？
• RQ5 能否将 zeta 函数与 Dirichlet L-函数组合于多维乘积中，以获得有效的无限可分分布？

主要发现

• 利用 Kronecker 逼近定理，推导出多维多项式 Euler 乘积生成特征函数的必要与充分条件。
• 对于某些类别的多维多项式 Euler 乘积，应用 Baker 定理表明：若其对数的实部具有特定算术结构且非零，则该乘积不能是特征函数。
• 证明乘积 ζ(2σ + 2it)L(σ + it)ζ(2σ)^{-1}L(σ)^{-1} 在 σ > 1 时不为特征函数，原因在于存在 t₀ 使得其对数的实部变为正。
• 函数 f_σ(t) = ζ(σ + it)^2 L(2σ + 2it) 通过在 ℝ 上显式构造有限 Lévy 测度 N_σ，被证明为复合泊松特征函数，因此是无限可分的。
• Lévy 测度 N_σ 显式构造为素数的对数幂处 Dirac 测度之和，其系数由与二次剩余相关的算术函数导出。
• 分析结果确认，多维 zeta 分布的无限可分性在很大程度上取决于底层素因数分解的算术结构以及素数上指数和的行为。