[论文解读] Multidimensional stochastic Burgers equation

Zdzisław Brzeźniak, Beniamin Gołdys+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

该论文在环面 $\mathbb{T}^d$ 和 $\mathbb{R}^d$ 上，针对一般初值和噪声，建立了多维随机 Burgers 方程在 $L^p$ 空间中 $p > d$ 的强全局解的存在性与唯一性。在粘性系数 $\nu > 0$ 下，推导出一致的先验估计，特别在涡度满足 Beale-Kato-Majda 型条件时成立，并证明了在势函数（梯度）初值和力的情况下，存在粘性系数趋于零的极限。

ABSTRACT

We consider multidimensional stochastic Burgers equation on the torus $\mathbb{T}^d$ and the whole space $\Rd$. In both cases we show that for positive viscosity $ u>0$ there exists a unique strong global solution in $L^p$ for $p>d$. In the case of torus we also establish a uniform in $ u$ a priori estimate and consider a limit $ u odown 0$ for potential solutions. In the case of $\Rd$ uniform with respect to $ u$ a priori estimate established if a Beale-Kato-Majda type condition is satisfied.

研究动机与目标

• 在 $L^p$ 空间中，$p > d$，建立多维随机 Burgers 方程强全局解的存在性与唯一性。
• 在粘性系数 $\nu > 0$ 下，对环面 $\mathbb{T}^d$ 和 $\mathbb{R}^d$ 推导出一致的先验估计，特别在涡度满足 Beale-Kato-Majda 型条件时成立。
• 研究在势函数（梯度）初值和力下，粘性系数趋于零的极限 $\nu \downarrow 0$，证明解收敛于无粘性方程的粘性解。
• 将先前关于确定性及一维随机 Burgers 方程的结果推广至具有乘性噪声的多维非梯度情形。
• 为构造随机动力系统并以最小假设在 Sobolev 与 Lebesgue 空间中刻画解提供一个框架。

提出的方法

• 在 $L^p(\mathcal{O}, \mathbb{R}^d)$ 空间中采用温和解的表述形式，其中 $p > d$，$\mathcal{O} = \mathbb{T}^d$ 或 $\mathbb{R}^d$，沿用 Weissler 方法处理局部存在性与唯一性。
• 应用最大值原理推导局部解的先验估计，并将其延拓至全局解。
• 通过引入涉及 $\operatorname{curl} u \in L^\infty(0,T; L^\infty)$ 和 $\operatorname{div} u \in L^\infty$ 的修正版 Beale-Kato-Majda 型条件，推导出在 $\nu$ 上的一致估计。
• 在 $L^p$-范数中应用随机分析与 Itô 公式，通过使用 Itô 修正项控制非线性和随机项。
• 应用 Gronwall 引理控制解的 $L^p$-范数随时间的增长。
• 在梯度情形下，通过 Hopf-Cole 变换将问题约化为 Hamilton-Jacobi 方程，从而在 $H^{1,p}$ 空间中构造粘性解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多维随机 Burgers 方程在 $L^p$ 空间中 $p > d$ 存在唯一的全局强解？
• RQ2 在不假设梯度结构的前提下，能否在 $\mathbb{R}^d$ 上建立粘性系数 $\nu > 0$ 的一致先验估计？
• RQ3 在 $\mathbb{T}^d$ 和 $\mathbb{R}^d$ 上，何种条件可保证粘性系数趋于零的极限 $\nu \downarrow 0$ 存在？
• RQ4 涡度与散度的 Beale-Kato-Majda 型条件在随机设定下如何与解的全局存在性相关联？
• RQ5 在梯度情形下，解能否被刻画为粘性解？且收敛是否在 $\nu$ 上一致？

主要发现

• 对于 $\mathcal{O} = \mathbb{T}^d$ 或 $\mathbb{R}^d$，以及任意初值 $u_0 \in L^p(\mathcal{O}, \mathbb{R}^d)$ 满足 $p > d$，存在唯一的强全局解，其粘性系数 $\nu > 0$。
• 在 $\mathbb{T}^d$ 上，建立了在 $\nu$ 上的一致先验估计，这意味着对任意 $u_0 \in L^p(\mathcal{O}, \mathbb{R}^d)$，均存在粘性系数趋于零的极限。
• 在 $\mathbb{R}^d$ 上，若涡度 $\operatorname{curl} u$ 在 $L^\infty(0,T; L^\infty)$ 中有界，且在某 $t_0 > 0$ 处 $\operatorname{div} u$ 有界，则 $\nu$ 上的一致估计成立，这将 Beale-Kato-Majda 条件推广至随机情形。
• 在梯度情形（$u_0 = \nabla \psi_0$，$f = \nabla U$，噪声 $\nabla V$）下，解 $u$ 是某函数 $\psi$ 的梯度，方程退化为随机 Hamilton-Jacobi 方程。
• 对于非随机的 $\psi_0, U, V$，黏性 Hamilton-Jacobi 方程的解 $\psi^\nu$ 在 $\nu$ 上满足一致估计，从而在 $\nu \downarrow 0$ 时存在唯一的粘性解 $\psi$ 满足无黏性方程。
• 收敛 $\psi^\nu \to \psi$ 几乎必然地在空间与时间上局部一致，且解 $\psi$ 满足估计式 (5.5) 与 (5.6)，且在 $\nu$ 上一致。