[论文解读] Multifractal analysis of Bernoulli convolutions associated with Salem numbers

De‐Jun Feng|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文建立了与 Salem 数相关的伯努利卷积的多重分形形式，证明了局部维数 α 的水平集的 Hausdorff 维数等于 L^q 谱 τ*(α) 的 Legendre 变换，其中 α 属于区间 [τ′(∞), τ′(0+)]。该结果推广至满足渐近弱分离条件的自共形测度，且本文构造了一个具有非平凡多重分形结构的绝对连续自相似测度的例子。

ABSTRACT

We consider the multifractal structure of the Bernoulli convolution $ν_λ$, where $λ^{-1}$ is a Salem number in $(1,2)$. Let $τ(q)$ denote the $L^q$ spectrum of $ν_λ$. We show that if $α\in [τ'(+\infty), τ'(0+)]$, then the level set $$E(α):={x\in \R:\; \lim_{r o 0}\frac{\log ν_λ([x-r, x+r])}{\log r}=α}$$ is non-empty and $\dim_HE(α)=τ^*(α)$, where $τ^*$ denotes the Legendre transform of $τ$. This result extends to all self-conformal measures satisfying the asymptotically weak separation condition. We point out that the interval $[τ'(+\infty), τ'(0+)]$ is not a singleton when $λ^{-1}$ is the largest real root of the polynomial $x^{n}-x^{n-1}-... -x+1$, $n\geq 4$. An example is constructed to show that absolutely continuous self-similar measures may also have rich multifractal structures.

研究动机与目标

• 建立当 λ⁻¹ 为 (1,2) 内的 Salem 数时，伯努利卷积 ν_λ 的多重分形形式。
• 确定局部维数的精确范围，使得水平集 E(α) 非空，并计算其 Hausdorff 维数。
• 将多重分形形式的有效性推广至满足渐近弱分离条件的自共形测度。
• 构造一个具有非退化局部维数区间的绝对连续自相似测度的例子，挑战了‘此类丰富性意味着奇异’的假设。

提出的方法

• 将 L^q 谱 τ_μ(q) 定义为 log Θ_μ(q;r) / log r 的下极限，其中 Θ_μ(q;r) 是在不相交球上的 ∑μ(B_r(x_i))^q 的上确界。
• 使用 Legendre 变换 τ*(α) = inf{αq - τ(q) : q ∈ ℝ} 将 L^q 谱与水平集 E(α) 的 Hausdorff 维数联系起来。
• 通过 IFS S₁(x) = λx - 1, S₂(x) = λx + 1 分析 ν_λ 的自相似结构，并利用测度方程 ν_λ = ½ν_λ∘S₁⁻¹ + ½ν_λ∘S₂⁻¹。
• 利用 Salem 数的性质及柱集结构，证明水平集 E(α) 在 α ∈ [τ′(∞), τ′(0+)] 时非空。
• 通过验证特定柱字 I 满足 #I / 2^k > λ^k，确认渐近弱分离条件。
• 构造一个三支的 IFS，使用不等权重，以生成具有非平凡局部维数范围的绝对连续自相似测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 λ⁻¹ 为 Salem 数时，伯努利卷积 ν_λ 的多重分形形式是否成立？
• RQ2 当 λ⁻¹ 为多项式 x^n - x^{n-1} - ⋯ - x + 1 的最大实根且 n ≥ 4 时，区间 [τ′(∞), τ′(0+)] 是否非退化？
• RQ3 绝对连续的自相似测度是否能表现出丰富的多重分形结构，且具有非退化的局部维数区间？
• RQ4 多重分形形式是否可推广至满足渐近弱分离条件的自共形测度？
• RQ5 当 λ⁻¹ 为 Salem 数时，τ′(∞) < 1 是否恒成立，如同对 Pisot 数的情形一样？

主要发现

• 当 λ⁻¹ 为 (1,2) 内的 Salem 数时，对所有 α ∈ [τ′(∞), τ′(0+)]，水平集 E(α) 非空。
• E(α) 的 Hausdorff 维数等于 τ*(α)，即 L^q 谱的 Legendre 变换，从而证实了多重分形形式。
• 当 λ⁻¹ 为多项式 x^n - x^{n-1} - ⋯ - x + 1 的最大实根且 n ≥ 4 时，区间 [τ′(∞), τ′(0+)] 非退化。
• 构造了一个例子，其中绝对连续的自相似测度具有非退化的局部维数区间。
• 当 λ ∈ (0.3405, 0.3439) 且 u ∈ (1/3, 1/2) 时，对 L²-几乎处处的 (λ,u)，μ_λ,u 为绝对连续，且在非退化的 α 区间上成立多重分形形式。
• 证明依赖于横截性及 log f(q) 的严格凸性，确保对所有 q > 1.5 且 λ < 0.3438，有 τ(q,λ,u) = g(q,λ)。