[论文解读] Multifractal Analysis of The New Level Sets

Yiwei Dong, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过基于不同的 liminf 和 limsup Birkhoff 平均值将不规则集划分为水平集，提出了一种新的多分形分析框架。在几乎指定性质下，建立了这些精细水平集的拓扑熵的变分原理，表明熵由具有指定平均值的不变测度的度量熵上确界的上确界决定，将经典结果推广至不规则集和混合规则-不规则集。

ABSTRACT

By an appropriate definition, we divide the irregular set into level sets. Then we characterize the multifractal spectrum of these new pieces by calculating their entropies. We also compute the entropies of various intersections of the level sets of regular and irregular set which is rarely studied in the literature. Moreover, our conclusions also hold for the topological pressure. Finally, we consider the continuous case and use our results to give a description for the suspension flow.

研究动机与目标

• 通过基于不同的 liminf 和 limsup Birkhoff 平均值引入水平集，对动力系统的多分形分解进行细化。
• 表征这些新水平集的拓扑熵，特别是规则集与不规则集交集的拓扑熵。
• 通过悬垂流将变分原理推广至连续情形。
• 通过具有指定平均值的测度熵上确界，建立水平集熵与不变测度之间的联系。
• 将经典多分形结果推广至具有几乎指定性质的系统，该性质严格扩展了指定性质。

提出的方法

• 对满足 $ c \leq d $ 的情况，定义新的水平集 $ X_\varphi(c,d) = \{x \in X : \underline{\varphi}(x) = c, \overline{\varphi}(x) = d\} $，基于不同的下与上 Birkhoff 平均值对空间进行划分。
• 利用几乎指定性质确保轨道拼接的存在性，从而能够构造具有指定遍历平均值的测度。
• 应用拓扑压的变分原理，将水平集的熵与满足固定平均值的不变测度上的 $ h_\mu(T) + \int \psi \, d\mu $ 的上确界联系起来。
• 通过返回时间的缩放建立离散系统悬垂流与连续流之间的共轭关系。
• 证明对于任意 $ c \leq d $，若 $ X_\varphi(c,d) $ 非空，则其拓扑熵等于 $ \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi \, d\mu = \xi \} $。
• 利用具有不同屋顶函数的悬垂流之间的共轭关系，将一般情形约化为屋顶函数为常数的情形，从而简化熵的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过使用不同的 liminf 和 limsup Birkhoff 平均值，将不规则集细化为水平集？这些集合的熵是多少？
• RQ2 规则集 $ R_{\varphi_1}(a) $ 与不规则集 $ I_{\varphi_2} $ 的交集的拓扑熵是多少？在什么条件下该交集非空？
• RQ3 在几乎指定性质下，能否为这些新水平集的熵建立变分原理？
• RQ4 这些精细水平集的多分形谱如何与不变测度及其熵相关联？
• RQ5 能否通过悬垂流将结果推广至连续时间系统？屋顶函数如何影响水平集的熵？

主要发现

• 对于任意连续函数 $ \varphi_1, \varphi_2 $，交集 $ R_{\varphi_1}(a) \cap I_{\varphi_2} $ 要么具有全拓扑熵，要么为空集。
• 若 $ R_{\varphi_1}(a) \cap I_{\varphi_2} \neq \emptyset $，则其拓扑熵等于 $ \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi_1 \, d\mu = a \} $，将经典变分原理推广至混合规则-不规则集。
• 对于任意 $ c \leq d $，若集合非空，则 $ X_\varphi(c,d) $ 的拓扑熵为 $ \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) : \int \varphi \, d\mu = \xi \} $。
• 加权 Birkhoff 平均值的水平集 $ X_{\varphi,\rho}(c,d) $ 的熵满足 $ P_{X_{\varphi,\rho}(c,d)}(\psi) = \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_\mu(T) + \int \psi \, d\mu : \frac{\int \varphi \, d\mu}{\int \rho \, d\mu} = \xi \} $。
• 对于悬垂流，水平集 $ X^\rho_\Phi(\Psi,c,d) $ 的拓扑熵为 $ \min_{\xi = c,d} \sup \{ h_{\mu_\rho}(T) : \int \Phi \, d\mu_\rho = \xi \} $，其中 $ \mu_\rho $ 是在悬垂系统上诱导的测度。
• 结果适用于拓扑压，且在屋顶函数非恒定的情况下，悬垂流中水平集的熵在共轭下保持不变。