[论文解读] Multifractal states in self-consistent theory of localization: analytical solution

B. L. Altshuler, L. B. Ioffe+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Fractal and DNA sequence analysis被引用 35

一句话总结

本论文通过复制对称性自发破缺，为自洽局域化理论中的多分形态提供了分析解，用以区分扩展遍历态（$D_1=1$）与非遍历多分形态（$0<D_1<1$）相。通过腔方程与复制方法推导出分形维数 $D_1$，证明了非遍历扩展相的存在以及贝蒂格格拉茨（Bethe lattices）和罗森茨魏格-波特随机矩阵（Rosenzweig-Porter random matrices）中扩展相之间的的一阶相变。

ABSTRACT

We consider disordered tight-binding models which Green's functions obey the self-consistent cavity equations . Based on these equations and the replica representation, we derive an analytical expression for the fractal dimension D_{1} that distinguishes between the extended ergodic, D_{1}=1, and extended non-ergodic (multifractal), 0

研究动机与目标

• 在遍历区之外的无序量子系统中，建立非遍历扩展（多分形）态存在的证据。
• 推导出用于区分遍历态（$D_1=1$）与非遍历态（$0<D_1<1$）扩展态的分形维数 $D_1$ 的解析表达式。
• 证明在自洽局域化理论中，扩展遍历相与扩展非遍历相之间存在一阶相变。
• 将分析框架扩展至无限连通度系统，如罗森茨魏格-波特随机矩阵模型。
• 通过复制对称性自发破缺与腔方法验证该方法，确认在无序-能量平面中的相图。

提出的方法

• 利用复制表示与格林函数的自洽腔方程推导分形维数 $D_1$。
• 应用复制技巧，以区分复制对称（遍历）与一步复制对称性自发破缺（非遍历）解。
• 在腔深度 $\ell \to \infty$ 的极限下使用鞍点近似，以评估有效积分 $I_m$。
• 引入有效分布 $F_{\rm eff}(\epsilon)$ 与函数 $p(z)$，以描述逆格林函数的统计特性。
• 利用对称性关系 $p(z) = p(1/z)$ 与 $I_m = I_{1-m}$，在不依赖显式 $F_{\rm eff}$ 的前提下证明关键恒等式。
• 通过将 $I_m$ 与数值计算的 $\tilde{I}_m$ 比较，验证分析结果，显示在无序参数 $W$ 的指数宽范围内误差小于2%。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无序系统的自洽局域化理论中，是否存在非遍历扩展相？
• RQ2 表征遍历与非遍历扩展态之间转变的分形维数 $D_1$ 的解析表达式是什么？
• RQ3 扩展遍历相与扩展非遍历相之间的转变是否可归类为一阶相变，其本质如何？
• RQ4 在贝蒂格格拉茨与无限连通度系统中，自洽腔方法下的复制对称性自发破缺结构如何出现？
• RQ5 在不损失物理内容的前提下，有效分布 $F_{\rm eff}(\epsilon)$ 在多大程度上可被函数 $p(z)$ 取代？

主要发现

• 论文证明了在贝蒂格格拉茨中，对于广泛的无序强度与能量范围，存在一个非遍历扩展相，其满足 $0 < D_1 < 1$。
• 证明了扩展遍历相与扩展非遍历相之间的转变是一阶相变，而非交叉转变。
• 通过复制对称性自发破缺，解析导出分形维数 $D_1$，其中 $D_1 = 1$ 对应该复制对称解。
• 在贝蒂格格拉茨中建立了无序-能量平面的相图，通过一步复制对称性自发破缺识别出两个绝缘相。
• 基于 $p(z)$ 的 $I_m$ 解析表达式与 $ ilde{I}_m$ 的数值结果相比，误差小于2%，且覆盖 $W$ 的指数宽范围。
• 由 $p(z) = p(1/z)$ 直接证明了 $I_m = I_{1-m}$，确认了解的对偶性与一致性，且不依赖于 $F_{\rm eff}(\epsilon)$。