[论文解读] Multifraction reduction IV: Padding and Artin-Tits groups of sufficiently large type

Patrick Dehornoy, Derek F. Holt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入填充多重分數化簡作為一種工具，以弱化求解布爾金-蒂茨群詞問題時的收斂性要求。論文證明，對於足夠大類型的布爾金-蒂茨幺半群——其中考克斯eter圖中任何三角形的邊標籤不恰好有一條為2——Σ-化簡在可計算的填充下是半收斂的，從而透過化簡方法確立了此類群詞問題的可判定性。

ABSTRACT

We investigate the padded version of reduction, an extension of multifraction reduction as defined in arXiv:1606.08991, and connect it both with ordinary reduction and with the so-called Property $\mathrm{H}$. As an application, we show that all Artin-Tits groups of sufficiently large type satisfy some weakening Conjecture $\mathrm{A^{padded}}$ of Conjecture $\mathrm{A}$, thus showing that the reduction approach is relevant for these groups.

研究动机与目标

• 將多重分數化簡的適用性擴展至已知的FC類型以外的布爾金-蒂茨群，透過引入一種弱化的收斂條件。
• 確立Σ-化簡的填充半收斂性足以確保其在包絡群中詞問題的可判定性。
• 將填充半收斂性與GCD-幺半群中性質H及分裂化簡（Σ-化簡）聯繫起來。
• 證明足夠大類型的布爾金-蒂茨幺半群滿足猜想A的填充版本，從而擴展化簡方法的適用範圍。
• 為此類群提供填充所需長度的二次上界，使結果具有有效性。

提出的方法

• 引入f-填充，定義為在多重分數開頭插入偶數個平凡組分，以弱化收斂條件。
• 定義Σ-化簡的填充半收斂性作為包絡群中詞問題可判定性的充分條件。
• 建立Σ-化簡的填充半收斂性、分裂化簡（Σ-化簡）的半收斂性與GCD-幺半群lcm-陳述的性質H之間的等價關係。
• 透過詳細分析[10]與[8]中的技術，證明在足夠大類型的布爾金-蒂茨幺半群中，所需填充長度由輸入字長的二次函數有界。
• 應用子字反轉與分數正規形式的框架，將多重分數轉化為透過Σ-化簡得到的標準代表元。
• 利用足夠大類型布爾金-蒂茨幺半群滿足性質H的事實，從而推導出在填充下的所需半收斂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使完全收斂性失效，是否仍可使用多重分數化簡求解足夠大類型布爾金-蒂茨群的詞問題？
• RQ2 是否存在一個可計算的填充函數，使得Σ-化簡在足夠大類型布爾金-蒂茨幺半群中成為填充下的半收斂？
• RQ3 填充半收斂性與GCD-幺半群中性質H及分裂化簡（Σ-化簡）之間有何關係？
• RQ4 能否透過此弱化收斂條件，將化簡方法擴展至超越FC類型布爾金-蒂茨群？
• RQ5 足夠大類型布爾金-蒂茨幺半群中，半收斂性所需的填充長度有何數量界？

主要发现

• 本文證明，對於所有足夠大類型的布爾金-蒂茨幺半群，Σ-化簡在可計算填充函數下是半收斂的，滿足弱化版猜想A${}^{\text{padded}}$。
• 確立了填充長度的二次上界，具體為$N \geq 4\sum_{i=1}^{k}|v_{i}|$，其中$k$為子字數，$|v_i|$為其長度。
• Σ-化簡的填充半收斂性與幺半群lcm-陳述中性質H的成立等價。
• 結果確認，多重分數化簡方法適用於比以往已知更廣泛的布爾金-蒂茨群類別，包括足夠大類型的群。
• 只要填充可計算，足夠大類型布爾金-蒂茨群的詞問題可透過化簡方法判定。
• 本文仍留下單一未解決案例：指數為$3,3,3,3,3,2$的幺半群，此為化簡方法目前尚未解決的首例。