[论文解读] Multigraded Factorial Rings and Fano varieties with torus action

Juergen Hausen, Elaine Herppich+1 more|Research Explorer (The University of Manchester)|Oct 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过将 Cox 环表征为多 grad 且因子性的代数，对具有复杂度一 torus 作用和自由除子类群的 Fano 代数进行分类。基于维数和 Picard 指数，提供了形变类型的显式界限，得出分类列表：15 个非环面曲面（Picard 指数 ≤6），116 个体面（指数 ≤2），以及 67 个体面（局部因子性），所有 Cox 环均显式计算得出。

ABSTRACT

In a first result, we describe all finitely generated factorial algebras over an algebraically closed field of characteristic zero that come with an effective multigrading of complexity one by means of generators and relations. This enables us to construct systematically varieties with free divisor class group and a complexity one torus action via their Cox rings. For the Fano varieties of this type that have a free divisor class group of rank one, we provide explicit bounds for the number of possible deformation types depending on the dimension and the index of the Picard group in the divisor class group. As a consequence, one can produce classification lists for fixed dimension and Picard index. We carry this out expemplarily in the following cases. There are 15 non-toric surfaces with Picard index at most six. Moreover, there are 116 non-toric threefolds with Picard index at most two; nine of them are locally factorial, i.e. of Picard index one, and among these one is smooth, six have canonical singularities and two have non-canonical singularities. Finally, there are 67 non-toric locally factorial fourfolds and two one-dimensional families of non-toric locally factorial fourfolds. In all cases, we list the Cox rings explicitly.

研究动机与目标

• 通过其 Cox 环对具有复杂度一 torus 作用和自由除子类群的 Fano 代数进行分类。
• 确定所有具有有效复杂度一多 grad 的有限生成因子代数。
• 基于维数和 Picard 指数，为这类 Fano 代数的形变类型数量提供显式界限。
• 为固定维数和 Picard 指数构建分类列表，包括显式 Cox 环描述。

提出的方法

• 通过生成元与关系表征所有具有有效复杂度一多 grad 的有限生成因子 ${\mathbb{K}}$-代数。
• 从可接受三元组 $(A,\mathfrak{n},L)$ 构造代数 $R(A,\mathfrak{n},L)$，其中 $A$ 是 ${\mathbb{K}}^2$ 中向量的序列，$\mathfrak{n}$ 是正整数序列，$L$ 是正整数族。
• 定义三项式 $g_{i,j,k} = \alpha_{jk}f_i + \alpha_{ki}f_j + \alpha_{ij}f_k$，其中 $\alpha_{ij} = \det(a_i,a_j)$，并构造商环 $R(A,\mathfrak{n},L) = {\mathbb{K}}[T_{ij}]/\langle g_{i,i+1,i+2}\rangle$。
• 利用除子扇形和多面体除子分解，从其 Cox 环重构这些代数的几何对象。
• 将 Cox 环构造应用于满足 $\operatorname{Cl}(X) \cong \mathbb{Z}$ 的 Fano 代数，利用此类环为因子性且具有复杂度一 grad 的事实。
• 利用 $\leq \mu$ 的素数数量的界限，推导出固定维数和 Picard 指数下形变类型数量的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有有效复杂度一多 grad 且 $R_0 = {\mathbb{K}}$ 的有限生成因子 ${\mathbb{K}}$-代数中，哪些是存在的？
• RQ2 这些代数中哪些是具有复杂度一 torus 作用和自由除子类群的 Fano 代数的 Cox 环？
• RQ3 对于固定的 $d$ 和 $\mu$，$d$-维 Fano 代数具有复杂度一 torus 作用和 Picard 指数 $\mu$ 的形变类型有多少种？
• RQ4 能否为这类 Fano 代数生成显式分类列表，其 Cox 环是什么？

主要发现

• 恰好存在 15 个 Picard 指数不超过六的非环面曲面。
• 存在 116 个体面，其 Picard 指数不超过二，其中包括九个局部因子性代数（一个光滑，六个具有典范奇点，两个具有非典范奇点）。
• 存在 67 个非环面局部因子性四维代数，以及两组一维族的此类四维代数。
• 对于固定的 $d$，$d$-维 Fano 代数具有复杂度一 torus 作用和 Picard 指数 $\mu$ 的形变类型数量被 $\xi(\mu)$ 所界定，即 $\leq \mu$ 的素数数量。
• 本文中所分类的 Fano 代数的所有 Cox 环均已显式列出。
• 该分类通过将 Cox 环识别为满足可接受性条件的 $R(A,\mathfrak{n},L)$ 或其多项式扩张实现。