[论文解读] Multigrid algorithms for $hp$-version Interior Penalty Discontinuous Galerkin methods on polygonal and polyhedral meshes

Paola F. Antonietti, Paul Houston+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文针对多边形和多面体网格上的 $hp$-版本对称内罚不连续伽辽金（IPDG）方法，开发并分析了两层及W-循环多重网格求解器。该方法使用几何聚合技术直接从任意形状的单元构建粗网格，当使用足够多的光滑步骤时，可在网格尺寸、多项式阶数 $p$ 和层数方面实现一致收敛；数值结果表明，即使在固定光滑步骤下，实际收敛性也得以实现。

ABSTRACT

In this paper we analyze the convergence properties of two-level and W-cycle multigrid solvers for the numerical solution of the linear system of equations arising from hp-version symmetric interior penalty discontinuous Galerkin discretizations of second-order elliptic partial differential equations on polygonal/polyhedral meshes. We prove that the two-level method converges uniformly with respect to the granularity of the grid and the polynomial approximation degree p, provided that the number of smoothing steps, which depends on p, is chosen sufficiently large. An analogous result is obtained for the W-cycle multigrid algorithm, which is proved to be uniformly convergent with respect to the mesh size, the polynomial approximation degree, and the number of levels, provided the number of smoothing steps is chosen sufficiently large. Numerical experiments are presented which underpin the theoretical predictions; moreover, the proposed theoretical assumptions are not fully satisfied.

研究动机与目标

• 为一般多边形和多面体网格上的 $hp$-版本内罚不连续伽辽金方法开发高效的迭代求解器。
• 分析在不同网格细化和多项式阶数下，两层及W-循环多重网格算法的收敛行为。
• 证明当光滑步骤数量足够大时，可在网格尺寸、多项式阶数 $p$ 和层数方面实现一致收敛。
• 通过复杂网格上的数值实验验证理论结果。
• 表明即使在理论光滑要求被放宽时，实际收敛性仍可实现。

提出的方法

• 使用几何聚合技术直接从原始多边形/多面体网格生成粗网格层级，保留DG方法的灵活性。
• 粗网格算子从细网格离散问题代数定义，避免对符合有限元空间的依赖。
• 光滑算子采用Richardson光滑器，包含 $m$ 次预光滑和后光滑步骤，其中 $m$ 依赖于多项式阶数 $p$。
• 通过能量范数估计和插值算子分析两层方法，在聚合体满足弱形状正则性假设下证明一致收敛。
• 当 $m$ 足够大时，证明W-循环算法在网格尺寸、$p$ 和层数方面均一致收敛。
• 聚合策略包括最大独立集、最大加权匹配和贪婪聚合，均基于矩阵结构进行代数处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 两层多重网格求解器是否能在多边形/多面体网格上对 $hp$-IPDG 实现关于网格尺寸和多项式阶数 $p$ 的一致收敛？
• RQ2 当层数增加时，W-循环多重网格方法是否在使用足够多光滑步骤的前提下保持一致收敛？
• RQ3 基于代数聚合的多重网格方法在高阶DG离散化中的性能与几何聚合相比如何？
• RQ4 在实践中，是否可以放宽对光滑步骤随 $p$ 增加的理论要求而不损失收敛性？
• RQ5 几何信息在基于聚合的多重网格求解器对高阶DG问题收敛性中起什么作用？

主要发现

• 当光滑步骤数量足够大时，两层多重网格求解器在网格尺寸和多项式阶数 $p$ 方面实现一致收敛。
• 当光滑步骤数量足够大时，W-循环多重网格算法在网格尺寸、$p$ 和层数方面均实现一致收敛。
• 数值实验表明，即使光滑步骤数量保持固定（与 $p$ 无关），实际收敛性仍可实现，但随着 $p$ 增大，收敛速率会下降。
• 代数聚合方法（最大独立集、最大加权匹配、贪婪聚合）在 $p \geq 1$ 时无法在5000次迭代内收敛，表明其在高阶DG问题中无效。
• 所有测试的 $p$ 值和聚合策略下，收敛因子 $\rho$ 均接近1（例如 $\rho \approx 0.9986$ 至 $0.9992$），证实使用代数聚合时收敛性极差。
• 结果表明，必须将几何信息纳入聚合过程，或需采用更高级的光滑器（如Schwarz型）才能解决高阶DG问题。