[论文解读] MultiGrid Preconditioners for Mixed Finite Element Methods of Vector Laplacian

Long Chen, Yongke Wu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 7

一句话总结

本论文为向量拉普拉斯方程和麦克斯韦方程的混合有限元离散化提出了一类新型的块对角与块三角预条件子，采用基于点 Gauss–Seidel 光滑的变 V 循环多重网格法。该方法通过多重网格近似舒尔补，实现与网格无关的收敛性，提供了一种无需几何信息、鲁棒性强的黑箱代数替代方案，即使在部分正则性条件下也表现良好。

ABSTRACT

Due to the indefiniteness and poor spectral properties, the discretized linear algebraic system of the vector Laplacian by mixed finite element methods is hard to solve. A block diagonal preconditioner has been developed and shown to be an effective preconditioner by Arnold, Falk, and Winther [Acta Numerica, 15:1--155, 2006]. The purpose of this paper is to propose alternative and effective block diagonal and block triangular preconditioners for solving this saddle point system. A variable V-cycle multigrid method with the standard point-wise Gauss-Seidel smoother is proved to be a good preconditioner for a discrete vector Laplacian operator. This multigrid solver will be further used to build preconditioners for the saddle point systems of the vector Laplacian and the Maxwell equations with divergent free constraint. The major benefit of our approach is that the point-wise Gauss-Seidel smoother is more algebraic and can be easily implemented as a black-box smoother.

研究动机与目标

• 为 $\boldsymbol{H}_0(\operatorname{curl})$ 空间中向量拉普拉斯方程的混合有限元离散化所生成的鞍点系统，开发高效且可实现的预条件子。
• 通过引入更具代数性质的光滑子，克服现有几何光滑子对复杂局部求解和几何信息的依赖。
• 建立一个多重网格框架，利用标准点 Gauss–Seidel 松弛法，确保系统矩阵舒尔补的最优收敛速率。
• 将所提出的预条件子推广至带有散度自由约束的麦克斯韦方程，同时在正则性降低时保持鲁棒性。
• 通过数值实验表明，所提出的预条件子可实现与网格无关的迭代次数和高效的 CPU 性能。

提出的方法

• 将变 V 循环多重网格法应用于舒尔补 $A = B^T M_v^{-1} B + C^T M_f C$，其代表离散的向量拉普拉斯方程。
• 采用点 Gauss–Seidel 光滑子作为黑箱光滑子，避免对专用几何或区域光滑子的需求。
• 通过稀疏的汇拢质量矩阵 $\tilde{M}_v^{-1}$ 近似质量矩阵的逆 $M_v^{-1}$，以确保实用性与稀疏性。
• 利用 $\tilde{A}^{-1}$ 的多重网格近似构造块对角与块三角预条件子，其中 $(2,2)$ 块通过 $\tilde{M}_v^{-1}$ 或标量拉普拉斯方程的 V 循环近似。
• 通过 Bramble–Pasciak–Xu 框架理论证明收敛性，依赖于正则性与逼近假设，光滑性由对称正定性与 Gauss–Seidel 理论保证。
• 数值实验使用 iFEM 工具包在 2D 与 3D 区域上验证性能，包括违反完整正则性的奇异区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在向量拉普拉斯方程鞍点系统的舒尔补的多重网格方法中，有效使用标准点 Gauss–Seidel 光滑子作为黑箱光滑子？
• RQ2 当完全椭圆正则性假设被违反时，所提出的多重网格预条件子是否仍能保持与网格无关的收敛性？
• RQ3 在带有散度自由约束的麦克斯韦方程中，块对角与块三角预条件子在迭代次数与计算成本方面有何比较？
• RQ4 舒尔补的多重网格求解器能否作为无需几何信息或局部区域求解的鲁棒代数预条件子使用？
• RQ5 当离散空间不包含全部线性多项式时，有限元逼近性质（如最低阶边元）对收敛行为有何影响？

主要发现

• 在三维空间及非凸区域中，块三角预条件子在迭代次数上优于块对角预条件子。
• 对角预条件子的迭代次数在正则性降低时缓慢增加，表明其对椭圆正则性假设较为敏感。
• 在 L 形域与裂纹域等全正则性失效的区域，三角预条件子仍保持鲁棒性，表明内部正则性与额外光滑可补偿边界奇异性。
• 对于麦克斯韦方程，两种预条件子均实现收敛，且迭代步数缓慢增加，尽管三角预条件子的 $(2,2)$ 块求解更昂贵，但 CPU 时间相近。
• 使用单个 V 循环（$m_J=2$，2D；$m_J=3$，3D）即可提供有效预条件，证明了多重网格近似的高效性。
• 当有限元空间不包含完整线性多项式时，该方法仍有效，表明其鲁棒性超越理论假设。