[论文解读] Multigrid reduction preconditioning framework for coupled processes in porous and fractured media

Quan M. Bui, François P. Hamon+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis参考文献 64被引用 27

一句话总结

本论文提出了一种物理信息驱动的代数多重网格降阶（MGR）预条件框架，用于求解地下模拟中涉及流动、力学和断裂的大型耦合线性系统。通过利用块结构和基于物理的降阶策略，MGR在多种离散化方案下实现了对全隐式时间推进格式的可扩展、高效求解——在单相流、含井的组分流以及水力压裂问题中得到验证，实现了在实际规模问题上的强可扩展性和弱可扩展性。

ABSTRACT

Many subsurface engineering applications involve tight-coupling between fluid flow, solid deformation, fracturing, and similar processes. To better understand the complex interplay of different governing equations, and therefore design efficient and safe operations, numerical simulations are widely used. Given the relatively long time-scales of interest, fully-implicit time-stepping schemes are often necessary to avoid time-step stability restrictions. A major computational bottleneck for these methods, however, is the linear solver. These systems are extremely large and ill-conditioned. Because of the wide range of processes and couplings that may be involved--e.g. formation and propagation of fractures, deformation of the solid porous medium, viscous flow of one or more fluids in the pores and fractures, complicated well sources and sinks, etc.--it is difficult to develop general-purpose but scalable linear solver frameworks. This challenge is further aggravated by the range of different discretization schemes that may be adopted, which have a direct impact on the linear system structure. To address this obstacle, we describe a flexible framework based on multigrid reduction that can produce purely algebraic preconditioners for a wide spectrum of relevant physics and discretizations. We demonstrate its broad applicability by constructing scalable preconditioners for several problems, notably: a hybrid discretization of single-phase flow, compositional multiphase flow with complex wells, and hydraulic fracturing simulations. Extension to other systems can be handled quite naturally. We demonstrate the efficiency and scalability of the resulting solvers through numerical examples of difficult, field-scale problems.

研究动机与目标

• 解决全隐式时间离散化在耦合地下过程中产生的大型病态线性系统所带来的计算瓶颈。
• 开发一种通用、可扩展的线性求解器框架，适用于多种物理过程（流动、力学、断裂）和离散化方案（如混合有限差分法、有限体积法）。
• 克服现有块预条件器的局限性，这些预条件器高度专业化、需要手动调参，或在复杂大规模问题中缺乏可扩展性。
• 为碳封存、地热能和非常规油气藏开采等高保真模拟提供高效且可移植的求解策略。
• 在涉及复杂耦合和非均质介质的实际规模问题上，展示该框架的鲁棒性和可扩展性。

提出的方法

• 将耦合系统表述为B×B块线性系统（Ax = b），其中块代表物理场（如压力、饱和度、位移）。
• 应用多重网格降阶（MGR）作为纯代数框架，构建无需几何假设的预条件器，从而可应用于非结构化和复杂网格。
• 采用基于物理的降阶和平滑器选择，以保持系统结构，特别是流动、力学与输运之间的耦合关系。
• 将MGR与牛顿法结合用于非线性时间积分，在每次牛顿步骤中高效求解相应的雅可比系统。
• 利用现有求解器库（如PETSc、Trilinos）实现模块化、可扩展且可移植的实现，适用于各类模拟器。
• 设计框架以支持在不重新实现的前提下，快速探索求解参数（如降阶阶数、平滑器类型、粗网格算子）。

实验结果

研究问题

• RQ1 通用的、代数多重网格降阶（MGR）框架能否有效预条件来自耦合流动-地质力学模拟的大型块结构线性系统？
• RQ2 在涉及单相流、含井的组分流以及水力压裂的复杂实际规模问题中，MGR框架在可扩展性和收敛性方面表现如何？
• RQ3 在代数MGR框架中，基于物理的降阶和块结构在多大程度上可被利用以在多种离散化方案中保持鲁棒性？
• RQ4 对于复杂、强耦合的系统，MGR能否在收敛速度和并行可扩展性方面优于传统块预条件器（如CPR、固定应力法）？
• RQ5 该MGR框架在不重新配置的情况下，对不同类型井模型和非线性行为（如相变、裂缝扩展）的灵活性如何？

主要发现

• MGR预条件器在所有三个测试案例中均实现了鲁棒收敛：混合有限差分法的单相流、含复杂井的组分多相流，以及水力压裂模拟。
• 该框架在大规模、实际相关的复杂问题上表现出强可扩展性和弱可扩展性，在数千个处理器上实现了接近线性的加速比。
• 在水力压裂问题中，MGR求解器成功处理了裂缝开度、流体压力与固体力学变形之间的强非线性耦合，即使在动态扩展过程中也保持稳定。
• 该方法在不同离散化方案（包括混合有限差分法和有限体积法）中均保持高效，证明了其通用性和适应性。
• MGR框架无需针对具体问题调参即可高效求解全隐式系统，显著减少了求解器配置时间和计算成本。
• 数值结果证实，MGR在收敛速度和可扩展性方面优于标准黑箱预条件器，尤其在病态、大规模且具有复杂耦合的系统中表现更优。