[论文解读] Multilevel quasiseparable matrices in PDE-constrained optimization

Jacek Gondzio, Pavel Zhlobich|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出多层准分块矩阵——一种低秩结构矩阵类，可在多维PDE约束优化中实现线性时间运算。通过用该结构近似PDE矩阵及其逆矩阵，作者开发了一种网格无关的预条件子，使Krylov求解器能够近乎线性时间求解大规模鞍点系统，为最优控制问题实现最优复杂度。

ABSTRACT

Optimization problems with constraints in the form of a partial differential equation arise frequently in the process of engineering design. The discretization of PDE-constrained optimization problems results in large-scale linear systems of saddle-point type. In this paper we propose and develop a novel approach to solving such systems by exploiting so-called quasiseparable matrices. One may think of a usual quasiseparable matrix as of a discrete analog of the Green's function of a one-dimensional differential operator. Nice feature of such matrices is that almost every algorithm which employs them has linear complexity. We extend the application of quasiseparable matrices to problems in higher dimensions. Namely, we construct a class of preconditioners which can be computed and applied at a linear computational cost. Their use with appropriate Krylov methods leads to algorithms of nearly linear complexity.

研究动机与目标

• 解决由PDE约束优化问题产生的大规模鞍点系统求解中的计算瓶颈。
• 将准分块矩阵的应用范围从此前局限于一维问题，拓展至高维多维PDE问题。
• 开发一种预条件子，使迭代求解器能在近乎线性时间内收敛，避免对PDE矩阵进行昂贵的直接分解。
• 证明利用新的多层准分块结构，矩阵求逆、四则运算和分解均可在O(n)次操作内完成。

提出的方法

• 提出一类新型矩阵，称为多层准分块矩阵，其中高层级的参数本身是低层级的准分块矩阵。
• 采用分层参数化方法表示仅含O(n)个参数的矩阵，实现高效存储与操作。
• 在多层准分块矩阵上实现快速算术运算（加法、乘法、求逆），计算复杂度为O(n)次浮点运算。
• 通过用多层准分块结构近似PDE矩阵及其逆矩阵，构建了鞍点系统的预条件子。
• 采用基于新预条件子的预条件共轭梯度（PCG）方法求解离散最优控制问题。
• 实现一种降阶算法，将正常方程矩阵S压缩为多层准分块形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 准分块矩阵能否从一维推广至多维问题，以实现PDE约束优化的高效求解？
• RQ2 多层准分块矩阵能否在高维下支持矩阵求逆与算术运算的线性时间实现？
• RQ3 能否基于多层准分块矩阵构建适用于PDE约束最优控制中产生的鞍点系统的网格无关预条件子？
• RQ4 所提方法在实际大规模问题中是否实现近乎线性复杂度？
• RQ5 多层准分块矩阵在对称椭圆PDE之外的应用范围如何？

主要发现

• 所提出的多层准分块预条件子在PDE约束优化问题中实现了网格无关的收敛性。
• 求解系统所耗CPU时间随问题规模线性增长，实际验证了近乎线性复杂度。
• 当β = 10⁻²且容差为10⁻⁴时，总求解时间从n=12时的1.93秒增至n=18时的146.51秒，显示线性缩放。
• 当β = 10⁻⁵且容差为10⁻⁸时，总时间从n=12时的1.88秒增至n=18时的146.40秒，再次证实时间线性增长。
• PCG迭代次数保持较低且稳定（1–5次），表明方法具有鲁棒性与网格无关性。
• 状态u与控制f的解被准确恢复，u的相对误差从β=10²时的0.03降至β=10⁻²时的1.9e-4。