[论文解读] Multilinear processes in Banach space

Fred Espen Benth, Nils Detering+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 1

一句话总结

本文建立了抽象巴拿赫空间上无限维独立增量过程的条件期望的多重线性保持性质，将多项式过程的理论推广至巴拿赫代数之外。当巴拿赫空间为交换时，这些过程与典型多项式过程一致，且多重线性结构即使在非交换设定下亦自然浮现。

ABSTRACT

We observe a multilinearity preserving property of conditional expectation for infinite dimensional independent increment processes defined on some abstract Banach space $B$. It is similar in nature to the polynomial preserving property analysed greatly for finite dimensional stochastic processes and thus offers an infinite dimensional generalisation. However, while polynomials are defined using the multiplication operator and as such require a Banach algebra structure, the multilinearity preserving property we prove here holds even for processes defined on a Banach space which is not necessary a Banach algebra. In the special case of $B$ being a commutative Banach algebra, we show that independent increment processes are polynomial processes in a sense that coincides with a canonical extension of polynomial processes from the finite dimensional case. The assumption of commutativity is shown to be crucial and in a non-commutative Banach algebra the multilinearity concept arises naturally. Some of our results hold beyond independent increment processes and thus shed light on infinite dimensional polynomial processes in general.

研究动机与目标

• 将多项式过程的概念从有限维推广至无巴拿赫代数结构的无限维巴拿赫空间。
• 研究在无限维设定下，多重线性是否可在条件期望下保持。
• 阐明交换性在确保与有限维多项式过程一致中的作用。
• 探索非交换巴拿赫代数中多重线性结构的自然涌现。
• 将结果推广至超越独立增量过程的更广泛类别的无限维多项式过程。

提出的方法

• 分析定义在抽象巴拿赫空间上的无限维独立增量随机过程。
• 引入条件期望的多重线性保持性质，其类比于有限维情形下的多项式保持。
• 应用泛函分析技术，在缺乏乘法算子的条件下推导条件期望的性质。
• 在巴拿赫空间为交换巴拿赫代数时，建立独立增量过程与多项式过程之间的等价性。
• 证明在非交换巴拿赫代数中，多重线性结构自然出现，即使在非交换情形下亦然。
• 将结果扩展至超越独立增量情形的广义无限维多项式过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式过程框架能否推广至非巴拿赫代数结构的无限维巴拿赫空间？
• RQ2 在缺乏乘法算子的无限维设定下，条件期望的多重线性保持性质是否仍成立？
• RQ3 交换性在确保与有限维多项式过程一致中起何作用？
• RQ4 多重线性结构如何在非交换巴拿赫代数中自然涌现？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至超越独立增量过程的广义无限维多项式过程？

主要发现

• 即使在底层巴拿赫空间不具备巴拿赫代数结构时，无限维独立增量过程的条件期望仍保持多重线性。
• 当巴拿赫空间为交换巴拿赫代数时，独立增量过程与有限维情形的典型多项式过程一致。
• 在无限维设定下，交换性是独立增量过程与多项式过程等价性的关键条件。
• 在非交换巴拿赫代数中，多重线性概念自然出现，表明其结构推广超越了交换情形。
• 多重线性保持性质可扩展至独立增量过程之外，为广义无限维多项式过程提供了新见解。