[论文解读] Multiparametric Dissipative Linear Stationary Dynamical Scattering Systems: Discrete Case

Dmitriy S. Kalyuzhniy|ArXiv.org|Apr 28, 1998

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用 25

一句话总结

本文引入了离散时间 $ t \in \mathbb{Z}^N $ 上的多参数耗散与保守线性平稳动力散射系统，通过多参数 Lax-Phillips 半群将一维系统推广。建立了类似 Agler 的定理，表明在多圆盘 $ \mathbb{D}^N $ 上取值于压缩算子的全纯算子值函数，恰好是保守多参数散射系统的转移函数。

ABSTRACT

We propose the new generalization of linear stationary dynamical systems with discrete time $t\in\mathbb{Z}$ to the case $t\in space{Z}{N}$. The dynamics of such a system can be reproduced by means of its associated multiparametric Lax-Phillips semigroup. We define multiparametric passive, and conservative scattering systems and interpret them in terms of operator colligations, of the associated semigroup and of "energetic" relations for system data. We prove the Agler's type theorem describing the class of holomorphic operator-valued functions on the polydisc $ space{D}{N}$ that are the transfer functions of multiparametric conservative scattering systems. Keywords: Passive systems, multiparametric Lax-Phillips semigroup, generalized Schur class, conservative realizations

研究动机与目标

• 将一维线性平稳动力系统（LSDS）推广至 $ t \in \mathbb{Z}^N $ 的多维离散时间。
• 通过算子耦合与能量关系，定义多参数耗散与保守散射系统。
• 刻画作为保守系统转移函数的多圆盘 $ \mathbb{D}^N $ 上全纯算子值函数的类。
• 在多参数系统背景下，建立广义 Schur 类的 Agler 定理的多维类比。

提出的方法

• 通过 $ N $ 重时间演化方程组引入多参数 LSDS：$ x(t + e_k) = A_k x(t) + B_k u(t) $，$ y(t) = C_k x(t) + D_k u(t) $，$ k = 1, \dots, N $。
• 定义系统矩阵 $ G = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} $，作用于 $ \mathcal{X} \oplus \mathcal{N}^- $，对耗散系统施加压缩性条件（$ G^*G \leq I $），对保守系统施加酉性条件（$ G^*G = I, GG^* = I $）。
• 利用 $ N $ 个交换算子 $ A_k $ 的联合作用生成多参数 Lax-Phillips 半群，推广经典情况中的一参数半群。
• 使用算子耦合理论解释系统数据，并推导能量守恒/耗散恒等式。
• 应用广义 Schur 类框架刻画 $ \mathbb{D}^N $ 上的全纯算子值函数，将其识别为转移函数 $ \theta(z) = D + zC(I - zA)^{-1}B $。
• 证明广义 Schur 类 $ S_N^0(\mathcal{N}^-, \mathcal{N}^+) $ 中的每个函数均可通过紧密连接的酉耦合实现保守实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将一维线性平稳动力系统推广至离散的 $ N $ 维时间 $ \mathbb{Z}^N $？
• RQ2 在算子耦合与能量平衡的术语下，耗散与保守多参数散射系统由何种条件定义？
• RQ3 哪些在多圆盘 $ \mathbb{D}^N $ 上全纯的算子值函数可作为保守多参数系统的转移函数？
• RQ4 给定函数在广义 Schur 类中的保守实现在多大程度上是唯一的？
• RQ5 多参数 Lax-Phillips 半群结构如何推广散射理论中经典的单参数半群？

主要发现

• 每个在多圆盘 $ \mathbb{D}^N $ 上取值于从 $ \mathcal{N}^- $ 到 $ \mathcal{N}^+ $ 的压缩算子的全纯算子值函数 $ \theta(z) $，都是某个保守多参数散射系统的转移函数。
• 对于每个这样的 $ \theta $，都存在一个保守实现，且可选择为紧密连接的，即状态空间是输入与输出空间在系统算子作用下联合轨道的闭线性张成。
• 保守实现的状态空间维数不唯一：本文构造了同一个函数 $ \theta(z) = z_1 z_2 $ 的两个不同保守实现，一个状态空间维数为 1，另一个为 3。
• 最小保守实现在酉等价意义下唯一，且不存在非平凡不变子空间可支持具有相同转移函数的保守系统。
• 系统矩阵 $ G $ 在 $ N $ 维环面 $ \mathbb{T}^N $ 上是酉算子，确保了多参数设定下的能量守恒。
• 转移函数由公式 $ \theta(z) = D + zC(I - zA)^{-1}B $ 给出，其中 $ z = (z_1, \dots, z_N) $，且当 $ z \in \mathbb{D}^N $ 时，预解式是良定义的。