[论文解读] Multipartite entangled states, symmetric matrices and error-correcting codes

Keqin Feng, Lingfei Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文通过对称矩阵和经典纠错码，提出了两种新型的 $k$-均匀多部分 entangled 量子态构造方法。证明了当 $n$ 为偶数且 $d$ 为足够大的素数时，存在 $n/2$-均匀的 $n$-qudit 量子态，建立了 $k = \Omega(n)$ 的均匀性，并通过构造所有 $n \geq 8$ 的 3-均匀态，解决了一个开放问题。对称矩阵方法在实现更高 $k$-均匀性方面优于基于码的方法。

ABSTRACT

A pure quantum state is called $k$-uniform if all its reductions to $k$-qudit are maximally mixed. We investigate the general constructions of $k$-uniform pure quantum states of $n$ subsystems with $d$ levels. We provide one construction via symmetric matrices and the second one through classical error-correcting codes. There are three main results arising from our constructions. Firstly, we show that for any given even $n\ge 2$, there always exists an $n/2$-uniform $n$-qudit quantum state of level $p$ for sufficiently large prime $p$. Secondly, both constructions show that their exist $k$-uniform $n$-qudit pure quantum states such that $k$ is proportional to $n$, i.e., $k=Ω(n)$ although the construction from symmetric matrices outperforms the one by error-correcting codes. Thirdly, our symmetric matrix construction provides a positive answer to the open question in \cite{DA} on whether there exists $3$-uniform $n$-qudit pure quantum state for all $n\ge 8$. In fact, we can further prove that, for every $k$, there exists a constant $M_k$ such that there exists a $k$-uniform $n$-qudit quantum state for all $n\ge M_k$. In addition, by using concatenation of algebraic geometry codes, we give an explicit construction of $k$-uniform quantum state when $k$ tends to infinity.

研究动机与目标

• 为解决关于是否存在对所有 $n \geq 8$ 的 3-均匀 $n$-qudit 纯量子态这一开放问题。
• 为任意 $n$ 构造 $k$-均匀的 $n$-qudit 量子态，使得 $k$ 与 $n$ 成比例，即 $k = \Omega(n)$。
• 为任意固定的 $k$ 建立 $k$-均匀态的存在性，即对所有 $n \geq M_k$ 存在 $k$-均匀态，其中 $M_k$ 是依赖于 $k$ 的常数。
• 通过使用对称矩阵和经典纠错码（特别是代数几何码）提供显式构造，实现 $k \to \infty$ 时的渐近 $k$-均匀性。
• 比较对称矩阵方法与基于码的方法在实现高 $k$-均匀性方面的性能。

提出的方法

• 通过从 $\mathbb{Z}_d^n$ 到 $\mathbb{C}$ 的映射定义 $k$-均匀量子态，并提供一种等价刻画，用于构造此类态。
• 利用有限域上的对称矩阵构造 $k$-均匀态，借助其代数结构确保最大混合约化。
• 通过具有大最小距离和对偶距离的经典纠错码构造 $k$-均匀态，利用量子码与正交数组之间的对偶性。
• 通过连接代数几何码，在 $k$ 趋近于无穷时实现 $k$-均匀态，从而实现渐近构造。
• 证明对于任意偶数 $n \geq 2$，当足够大的素数 $p$ 时，存在 $n/2$-均匀的 $n$-qudit 态。
• 证明对称矩阵构造在实现更高 $k$-均匀性方面优于基于码的方法，尤其在 $n$ 较大时表现更优。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 $n \geq 8$，是否存在一个 3-均匀的 $n$-qudit 纯量子态？
• RQ2 能否构造出 $k$-均匀的 $n$-qudit 量子态，使得 $k$ 与 $n$ 成比例，即 $k = \Omega(n)$？
• RQ3 对任意固定的 $k$，是否存在一个常数 $M_k$，使得对所有 $n \geq M_k$，$k$-均匀的 $n$-qudit 量子态存在？
• RQ4 当 $k$ 趋近于无穷时，能否实现 $k$-均匀态的显式构造？
• RQ5 对称矩阵方法与纠错码构造方法在实现 $k$-均匀性方面有何比较优势？

主要发现

• 对于任意偶数 $n \geq 2$，当 $d$ 为足够大的素数 $p$ 时，存在一个 $n/2$-均匀的 $n$-qudit 量子态。
• 两种构造方法均实现了 $k = \Omega(n)$ 的 $k$-均匀态，表明在 $n$ 较大时可实现高均匀性。
• 对称矩阵构造为 DA 中关于 $n \geq 8$ 时 3-均匀 $n$-qudit 态存在性的开放问题提供了肯定答案。
• 对每个 $k$，存在一个常数 $M_k$，使得对所有 $n \geq M_k$，$k$-均匀的 $n$-qudit 量子态存在。
• 通过连接代数几何码，本文在 $k$ 趋近于无穷时给出了 $k$-均匀量子态的显式构造。
• 对称矩阵方法在实现更高 $k$-均匀性方面优于纠错码方法，尤其在 $n$ 较大时表现更优。