[论文解读] Multiparty Communication Complexity of Disjointness

Arkadev Chattopadhyay, Anil Ada|ArXiv.org|Jan 23, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 63

一句话总结

该论文通过将Sherstov的近似度技术扩展至多玩家情形，并结合Chattopadhyay的分歧估计方法，首次在“额头上的数字”模型中建立了Disjointness函数的随机化$k$-参与者通信复杂度的超常数下界$Ω\bigg{(}\frac{n^{\frac{1}{k+1}}}{2^{2^{k}}(k-1)2^{k-1}}\bigg{)}$。该结果在$k = o(\log\log n)$时分离了$\text{BPP}^{CC}_{k}$与$\text{NP}^{CC}_{k}$，并提供了首个具有指数级更高随机化复杂度的显式函数，其复杂度远超非确定性复杂度。

ABSTRACT

We obtain a lower bound of n^Omega(1) on the k-party randomized communication complexity of the Disjointness function in the `Number on the Forehead' model of multiparty communication when k is a constant. For k=o(loglog n), the bounds remain super-polylogarithmic i.e. (log n)^omega(1). The previous best lower bound for three players until recently was Omega(log n). Our bound separates the communication complexity classes NP^{CC}_k and BPP^{CC}_k for k=o(loglog n). Furthermore, by the results of Beame, Pitassi and Segerlind \cite{BPS07}, our bound implies proof size lower bounds for tree-like, degree k-1 threshold systems and superpolynomial size lower bounds for Lovasz-Schrijver proofs. Sherstov \cite{She07b} recently developed a novel technique to obtain lower bounds on two-party communication using the approximate polynomial degree of boolean functions. We obtain our results by extending his technique to the multi-party setting using ideas from Chattopadhyay \cite{Cha07}. A similar bound for Disjointness has been recently and independently obtained by Lee and Shraibman.

研究动机与目标

• 通过在“额头上的数字”模型中为Disjointness函数建立强下界，填补多参与者通信复杂度的差距。
• 将基于布尔函数近似多项式度的Sherstov两参与者技术扩展至多参与者情形，克服经典分歧方法的局限性。
• 针对$k = o(\log\log n)$，利用显式函数分离通信复杂度类$\text{BPP}^{CC}_{k}$与$\text{NP}^{CC}_{k}$。
• 通过通信复杂度结果，推导树形、度数为$k-1$的阈值系统与Lovász-Schrijver证明系统的证明大小下界。

提出的方法

• 将基于布尔函数近似多项式度的Sherstov技术扩展至多参与者情形，使用非均匀分布。
• 应用Chattopadhyay [8] 提供的分歧估计工具，处理广义分歧方法中的非均匀分布。
• 使用广义函数$G^{f}_{k}(x, y^1, \ldots, y^{k-1}) = f(x \Leftarrow y^1, \ldots, y^{k-1})$，其中$x \Leftarrow y^1, \ldots, y^{k-1}$是通过在$y^i$矩阵的所有全1列位置选取$x$的位而形成的字符串。
• 应用Paturi定理于对称函数的近似度，将NOR函数的度数界定为$m$输入大小下的$\Theta(\sqrt{m})$。
• 通过不等式$R^\epsilon_k(G^f_k) \geq \frac{d}{2^{k-1}} + \log(\delta + 2\epsilon - 1)$推导$R^\epsilon_k(G^f_k)$的下界，其中$d$是$f$的$\delta$-近似度。
• 使用增强论证法，将界限从$\epsilon > 1/6$扩展至任意常数$\epsilon > 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将分歧方法扩展至在$k$-参与者“额头上的数字”模型中为Disjointness函数获得超对数下界？
• RQ2 是否存在一个显式函数，其在多参与者情形下表现出随机化与非确定性通信复杂度之间的指数级差距？
• RQ3 Sherstov的近似度技术能否推广至多参与者通信模型，以绕过经典分歧方法的局限性？
• RQ4 强多参与者通信复杂度下界对证明复杂度有何影响，特别是对阈值与Lovász-Schrijver证明系统？

主要发现

• 对于任意常数$\epsilon > 0$，Disjointness函数的$k$-参与者随机化通信复杂度为$\Omega\bigg{(}\frac{n^{\frac{1}{k+1}}}{2^{2^{k}}(k-1)2^{k-1}}\bigg{)}$。
• 对于常数$k$，该结果给出$n^{\Omega(1)}$的下界，相较于三名参与者时先前的$\Omega(\log n)$界限有显著改进。
• 该结果在$k = o(\log\log n)$时分离了$\text{BPP}^{CC}_{k}$与$\text{NP}^{CC}_{k}$，当$k$为常数时实现指数级分离。
• 该界限意味着对树形、度数为$k-1$的阈值系统有强证明大小下界，解决了命题证明复杂性中的一个重大开放问题。
• 同一界限也适用于$G^{\text{OR}}_k$函数，其具有$O(\log n)$比特的非确定性协议，证实了$\text{BPP}^{CC}_{k}$与$\text{NP}^{CC}_{k}$之间的分离。
• 对于任意对称函数$D$，$G^D_k$的通信复杂度为$\Omega\bigg{(}\Psi(\ell_0) + \frac{T(\ell_1)}{2^{k-1}}\bigg{)}$，其中$T(n)$是$n$、$k$和$D$的近似度的函数。