[论文解读] Multiphysics Finite Element Methods for a Poroelasticity Model

Xiaobing Feng, Zhihao Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种新颖的多物理场有限元方法，针对准静态多孔弹性模型，通过引入两个伪压强，将系统解耦为广义Stokes问题和扩散方程。该方法确保了离散能量稳定性、最优收敛性，并在初始压强快速变化或受约束的特定储水系数趋近于零时，消除了数值模拟中的锁死现象。

ABSTRACT

This paper concerns with finite element approximations of a quasi-static poroelasticity model in displacement-pressure formulation which describes the dynamics of poro-elastic materials under an applied mechanical force on the boundary. To better describe the multiphysics process of deformation and diffusion for poro-elastic materials, we first present a reformulation of the original model by introducing two pseudo-pressures, one of them is shown to satisfy a diffusion equation, we then propose a time-stepping algorithm which decouples (or couples) the reformulated PDE problem at each time step into two sub-problems, one of which is a generalized Stokes problem for the displacement vector field (of the solid network of the poro-elastic material) along with one pseudo-pressure field and the other is a diffusion problem for the other pseudo-pressure field (of the solvent of the material). In the paper, the Taylor-Hood mixed finite element method combined with the $P_1$-conforming finite element method is used as an example to demonstrate the viability of the proposed multiphysics approach. It is proved that the solutions of the fully discrete finite element methods fulfill a discrete energy law which mimics the differential energy law satisfied by the PDE solution and converges optimally in the energy norm. Moreover, it is showed that the proposed formulation also has a built-in mechanism to overcome so-called "locking phenomenon" associated with the numerical approximations of the poroelasticity model. Numerical experiments are presented to show the performance of the proposed approach and methods and to demonstrate the absence of "locking phenomenon" in our numerical experiments.

研究动机与目标

• 为解决有限元近似多孔弹性模型时出现的数值不稳定现象——即‘锁死现象’，尤其是在初始压强快速变化的情况下。
• 设计一种时间推进格式，将多孔弹性系统解耦为两个可解的子问题：一个用于位移和一个伪压强的广义Stokes问题，以及一个用于另一个伪压强的扩散问题。
• 通过从守恒量中推导适当的边界条件，并利用广义Stokes解进行耦合，确保两个子问题的唯一可解性。
• 证明完全离散的有限元格式满足离散能量律，并在能量范数下实现最优收敛。
• 在受约束的特定储水系数趋于零的极限过程中，展示该方法的鲁棒性，并正确恢复Biot固结模型。

提出的方法

• 通过引入两个伪压强，重新表述原始的多孔弹性模型，其中一个伪压强满足扩散方程，从而实现系统的解耦。
• 将时间离散化的系统解耦为两个子问题：一个用于位移和一个伪压强的广义Stokes问题，以及一个用于另一个伪压强的扩散问题。
• 利用PDE解的守恒量构造边界条件，以确保广义Stokes问题的唯一可解性。
• 从广义Stokes问题的解中生成扩散问题的边界条件，以确保一致性与唯一性。
• 对速度和压强采用Taylor-Hood混合有限元方法，对伪压强采用P1连续有限元方法，从而可直接使用现有求解器求解每个子问题。
• 证明完全离散格式满足一个模仿连续能量律的离散能量律，并在能量范数下实现最优收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种多物理场有限元方法，将多孔弹性系统解耦为两个可解的子问题，同时保持稳定性与精度？
• RQ2 在时间推进格式中，如何确保广义Stokes问题与扩散问题的唯一可解性？
• RQ3 所提出的该方法是否能消除在先前混合有限元方法中于初始压强快速变化时观察到的锁死现象？
• RQ4 当受约束的特定储水系数趋于零时，该方法的行为如何？是否能正确恢复Biot固结模型？
• RQ5 该方法能否在不修改其代码的前提下，使用现有Stokes问题与扩散问题的求解器进行实现？

主要发现

• 通过从守恒量中推导边界条件并实现子问题间的耦合，该方法确保了两个子问题的唯一可解性。
• 完全离散的有限元格式满足一个与PDE解的连续能量律相匹配的离散能量律。
• 通过严格的误差估计证明了在能量范数下实现了最优收敛率。
• 数值实验验证了压力振荡的消失以及锁死现象的消除，即使在极小时间步长和快速初始压强变化下亦然。
• 当受约束的特定储水系数趋于零时，该方法保持鲁棒性，正确恢复了Biot固结模型。
• 该方法对压力场的正则性不敏感，因为压力不再作为主要变量，而是由伪压强导出的量。