[论文解读] Multiple-choice Vector Bin Packing: Arc-flow Formulation with Graph Compression

Filipe Brandão, João Pedro Pedroso|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2013

Optimization and Packing Problems参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出一种结合图压缩的弧-流公式化方法，用于求解多选向量装箱问题（MVBP），通过在有向无环图中紧凑表示所有有效的装箱模式，实现高效精确求解。该方法在基准实例上实现了平均亚秒级的求解时间，展现出在可变尺寸装箱问题上的强大性能与可扩展性。

ABSTRACT

The vector bin packing problem (VBP) is a generalization of bin packing with multiple constraints. In this problem we are required to pack items, represented by p-dimensional vectors, into as few bins as possible. The multiple-choice vector bin packing (MVBP) is a variant of the VBP in which bins have several types and items have several incarnations. We present an exact method, based on an arc-flow formulation with graph compression, for solving MVBP by simply representing all the patterns in a very compact graph. As a proof of concept we report computational results on a variable-sized bin packing data set.

研究动机与目标

• 解决多选向量装箱问题（MVBP）的挑战，其中物品具有多种形态，且装箱具有多种类型，具有不同的容量和成本。
• 为MVBP开发一种紧凑且高效的整数规划模型，避免显式枚举所有装箱模式。
• 展示图压缩技术在不损失解质量的前提下，有效减小弧-流公式化规模的能力。
• 在文献中的大规模可变尺寸装箱实例上，展示该方法的可扩展性与高效性。

提出的方法

• 构建一个有向无环多重图，其中从源点到汇点的每条路径代表某一类装箱的合法装箱模式。
• 使用Brandão和Pedroso（2013）提出的方法生成初始弧-流图，将物品的不同形态作为独立实体纳入。
• 实施最终的图压缩步骤，通过各维度上的最长路径距离对节点重新编号，以减少冗余节点与边。
• 移除代表同一物品不同形态的平行边，仅保留一条代表性边，以避免冗余。
• 将MVBP公式化为混合整数规划问题，以最小化总装箱成本，其中流量变量表示模式的使用次数，约束条件确保物品需求与装箱容量限制。
• 使用先进的MIP求解器（Gurobi 5.5.0）求解该模型，参数经调优以确保可行性与间隙控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合图压缩的弧-流公式化能否有效建模并求解多选向量装箱问题？
• RQ2 图压缩在保留所有合法装箱模式的前提下，如何减小弧-流公式的规模？
• RQ3 所提方法在标准可变尺寸装箱问题基准实例上的计算性能如何？
• RQ4 当物品数量与装箱类型数量增加时，该方法的可扩展性如何？
• RQ5 与现有MVBP方法相比，该方法在效率与解质量方面表现如何？

主要发现

• 在300个可变尺寸装箱问题的基准实例中，平均求解时间低于1秒，且无一实例耗时超过6秒。
• 由于最终图压缩步骤，顶点数量平均减少58%，边数量平均减少40%。
• 对于含500个物品的实例，平均分支定界节点探索数为0.0，表明解迅速收敛至最优。
• 该模型在时间限制内成功求解全部300个实例至最优，MIP间隙为0，绝对间隙容差设为1e-5。
• 该方法展现出高度可扩展性，在含最多500个物品与5种装箱类型的大型实例中仍保持低求解时间。
• 该方法在不同物品尺寸范围（X=1, X=2, X=3）下表现稳健，运行时间一致保持在亚秒级。