[论文解读] Multiple codings for self-similar sets with overlaps

Karma Dajani, Kan Jiang+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用 16

一句话总结

本文研究了实直线上具有完全重叠的自相似集的结构，重点关注每个点的编码（展开）数量。研究证明：当且仅当不存在具有可数无限多个编码的点时，恰好有一个编码的点的集合是闭集；给出了具有 k 个编码的集合的 Hausdorff 维数的显式公式；证明了当 k ≥ 2 时，此类集合的 Hausdorff 测度为无穷大；并计算了在具有 k 个或无限多个编码的点处自相似测度的局部维数。

ABSTRACT

In this paper we consider a general class $\mathcal E$ of self-similar sets with complete overlaps. Given a self-similar iterated function system $Φ=(E, \{f_i\}_{i=1}^m)\in\mathcal E$ on the real line, for each point $x\in E$ we can find a sequence $(i_k)=i_1i_2\ldots\in\{1,\ldots,m\}^\mathbb N$, called a coding of $x$, such that $$ x=\lim_{n o\infty}f_{i_1}\circ f_{i_{2}}\circ\cdots\circ f_{i_n}(0). $$ For $k=1,2,\ldots, \aleph_0$ or $2^{\aleph_0}$ we investigate the subset $\mathcal U_k(Φ)$ which consists of all $x\in E$ having precisely $k$ different codings. Among several equivalent characterizations we show that $\mathcal U_1(Φ)$ is closed if and only if $\mathcal U_{\aleph_0}(Φ)$ is an empty set. Furthermore, we give explicit formulae for the Hausdorff dimension of $\mathcal U_k(Φ)$, and show that the corresponding Hausdorff measure of $\mathcal U_k(Φ)$ is always infinite for any $k\ge 2$. Finally, we explicitly calculate the local dimension of the self-similar measure at each point in $\mathcal U_k(Φ)$ and ${U_{\aleph_0}(Φ)}$.

研究动机与目标

• 分析具有完全重叠的自相似集的结构，特别是多重编码点的分布。
• 表征具有恰好 k 个编码的集合的拓扑性质，尤其是唯一编码集合的闭包性质。
• 计算具有恰好 k 个编码的点的集合的 Hausdorff 维数和测度。
• 确定自相似测度在具有 k 个或可数无限多个编码的点处的局部维数。
• 将关于非整数基展开和 Bernoulli 卷积的结果推广到更广泛的具有重叠的自相似系统类别。

提出的方法

• 作者定义了一类具有完全重叠的自相似迭代函数系统（IFS）的类 E，其中重叠发生在相邻映射之间。
• 他们根据不同编码的数量对吸引子 E 中的点进行分类：U_k(Φ) 表示恰好具有 k 个不同编码的点的集合。
• 使用几何与组合技术，基于压缩比和重叠结构，推导出 U_k(Φ) 的 Hausdorff 维数的显式公式。
• 通过研究小球内测度在 U_k(Φ) 和 U_ℵ₀(Φ) 中点处的增长率，分析自相似测度的局部维数，使用递归不等式和渐近分析。
• 证明过程涉及构造嵌套区间，并通过映射序列估计测度增长，最终得到涉及概率和压缩比对数的极限表达式。
• 通过拓扑和度量论证，建立了 U_1(Φ) 的闭包与 U_ℵ₀(Φ) 为空集之间的对偶关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有完全重叠的自相似集中，唯一编码点的集合在什么条件下是闭集？
• RQ2 在这些系统中，恰好具有 k 个编码的点的集合的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ3 为什么具有 k ≥ 2 个编码的点的集合的 Hausdorff 测度总是无穷大？
• RQ4 在具有 k 个编码或可数无限多个编码的点处，自相似测度的局部维数如何变化？
• RQ5 能否显式地用 IFS 的概率和压缩比表示局部维数？

主要发现

• 当且仅当 U_ℵ₀(Φ) 为空集时，U_1(Φ) 是闭集，建立了该系统的拓扑二分性。
• U_k(Φ) 的 Hausdorff 维数由一个显式公式给出，其依赖于压缩比和重叠结构，且当 k ≥ 2 时，其维数严格小于整个吸引子 E 的维数。
• 对所有 k ≥ 2，U_k(Φ) 的 Hausdorff 测度为无穷大，表明尽管这些集合在拓扑维数上较小，但在度量意义上仍为“大”集合。
• 在 U_k(Φ) 中的点处，自相似测度 μ_p 的局部维数由一个涉及编码中所用映射的概率和压缩比的极小-极大公式给出。
• 在 U_ℵ₀(Φ) 中的点处，局部维数由无限编码序列导出的一组候选值的下确界决定，反映了展开结构的复杂性。
• 局部维数在每个 U_k(Φ) 和 U_ℵ₀(Φ) 上为常数，且可表示为当 r → 0 时 log μ_p(B(x,r)) / log r 的极限。