[论文解读] Multiple Dirichlet series and moments of zeta and L-functions

Adrian Diaconu, Dorian Goldfeld+1 more|ArXiv.org|Oct 9, 2001

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过利用函数方程和一种新颖的筛法，建立了与 $ GL(3) $ $ L $-函数的二次扭曲相关的完美多重狄利克雷级数 $ Z^*(s,s,s,w) $ 的亚纯延拓。关键结果是 $ L(1/2, f, \chi_d)^3 $ 的均值中误差项的混合界为 $ \mathcal{O}(x^{0.853366 + \epsilon}) $，优于以往的界限，并通过对称性和函数方程确认了解析延拓。

ABSTRACT

This paper develops an analytic theory of Dirichlet series in several complex variables which possess sufficiently many functional equations. In the first two sections it is shown how straightforward conjectures about the meromorphic continuation and polar divisors of certain such series imply, as a consequence, precise asymptotics (previously conjectured via random matrix theory) for moments of zeta functions and quadratic L-series. As an application of the theory, in a third section, we obtain the current best known error term for mean values of cubes of central values of Dirichlet L-series. The methods utilized to derive this result are the convexity principle for functions of several complex variables combined with a knowledge of groups of functional equations for certain multiple Dirichlet series.

研究动机与目标

• 建立与由二次字符扭曲的三重 $ L $-函数乘积相关的完美多重狄利克雷级数 $ Z^*(s,s,s,w) $ 的亚纯延拓。
• 开发一种类似于 [G–H] 中的筛法，以从完美级数重构未改进的级数。
• 推导 $ L(1/2, f, \chi_d)^3 $ 的非零结果以及 $ GL(3) $ 品形形式的对称平方 $ L $-函数的解析延拓。
• 通过复分析和函数方程分析 $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ 的均值中的误差项。
• 证明当 $ m=3 $ 时，函数方程群生成一个有限群，从而可通过凸包论证实现解析延拓。

提出的方法

• 使用完美多重狄利克雷级数 $ Z^*(s_1,s_2,s_3,w) $，其包含校正因子，以确保所有变量中函数方程的亚纯延拓。
• 应用 $ L $-函数的函数方程以及级数的对称性，生成其凸包为 $ \mathbb{C}^4 $ 的重叠区域，从而通过多复变函数中的定理实现解析延拓。
• 采用筛法将完美级数与未改进级数 $ Z(s,s,s,w) $ 关联，从而实现分析性质的传递。
• 通过 $ \mathcal{O} $-界估计积分和误差项，利用引理 4.20 和命题 4.18，仔细选择参数 $ \sigma, T, \gamma, \alpha, \beta, \theta_0 $ 以平衡误差贡献。
• 通过优化参数最小化总误差，平衡来自积分 $ I_2, I_3, I_4 $、极点贡献和截断误差的多个误差项。
• 利用 $ m=3 $ 时的唯一性原理，其中校正因子完全由函数方程决定，以确保构造的一致性和完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ GL(3) $ 自守形式，完美多重狄利克雷级数 $ Z^*(s,s,s,w) $ 是否能解析延拓至 $ \mathbb{C}^4 $？
• RQ2 $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ 的均值的最优误差界是什么？能否通过函数方程和筛法进一步改进？
• RQ3 完美级数中的校正因子如何影响多重狄利克雷级数的解析行为和函数方程？
• RQ4 函数方程群在确保解析延拓中起什么作用？为何当 $ m \geq 4 $ 时它不再为有限群？
• RQ5 能否通过筛法从 $ Z^*(s,s,s,w) $ 重构未改进级数 $ Z(s,s,s,w) $？这对均值定理有何影响？

主要发现

• 通过 $ m=3 $ 时函数方程群的有限性，证明了完美多重狄利克雷级数 $ Z^*(s,s,s,w) $ 可在 $ \mathbb{C}^4 $ 上亚纯延拓。
• $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ 均值中的总误差被控制在 $ \mathcal{O}(x^{0.853366 + \epsilon}) $ 内，其中 $ 0.853366 \approx \frac{1}{36}(47 - \sqrt{265}) $。
• 对于不整除 2 或导子的素数，校正因子完全由函数方程决定，从而证实了 $ m=3 $ 时的唯一性原理。
• 通过 $ Z^*(s,s,s,w) $ 在 $ w=1 $ 处的留数，重新证明了 $ GL(3) $ 品形形式的对称平方 $ L $-函数的解析延拓。
• 筛法成功地从完美级数重构了未改进级数，从而实现了均值结果的推导。
• 通过优化参数 $ \gamma, \alpha, \beta, \theta_0 $ 平衡误差项，且当 $ \theta_0 > \frac{1}{18}(29 - \sqrt{265}) $ 时，确保误差界最小化。