[论文解读] Multiple Dirichlet Series and Shifted Convolutions

Jeffrey Hoffstein, Thomas A. Hulse+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文引入并研究了移位的多重狄利克雷级数，建立了其在单变量和双复变量下的亚纯延拓。推导出移位和的精确上界，并将其应用于模形式 $L$-函数的次凸估计，扩展了关于兰金-塞尔伯格卷积的先前结果，为临界带内 $L$-值的有界性提供了一个新框架。

ABSTRACT

We define, and obtain the meromorphic continuation of, shifted Rankin-Selberg convolutions in one and two variables. As sample applications, this continuation is used to obtain estimates for single and double shifted sums and a Burgess-type bound for $L$-series associated to modular forms of arbitrary central character. Further applications are furnished by subsequent works by the authors and their colleagues.

研究动机与目标

• 发展移位多重狄利克雷级数的理论，实现在多变量下的亚纯延拓。
• 将经典的兰金-塞尔伯格卷积推广至单变量和双变量的移位卷积。
• 将解析延拓应用于推导移位和的强估计以及 $L$-函数的次凸界。
• 为具有任意中心特征的模形式的中心 $L$-值提供一种新方法以实现有界性。
• 通过“概念验证”应用展示移位多重狄利克雷级数作为次凸性工具的实用性。

提出的方法

• 为模形式 $ f $ 和 $ g $ 定义移位狄利克雷级数 $ D(s;h) = \sum_{m \geq 1} \frac{a(m+h)\overline{b}(m)}{m^{s+k-1}} $，推广兰金-塞尔伯格卷积。
• 利用谱分解和自守表示理论，建立 $ D(s;h) $ 及其双变量类比的亚纯延拓。
• 利用移位卷积的谱展开，推导出在垂直条带上的多项式有界性并估计二阶矩。
• 将该理论应用于控制 $ \Gamma_0(N) $ 上模函数的三重积，将 [4] 的结果推广至 $ PGL_2(\mathbb{A}) $ 的固定非 Eisenstein 候选表示。
• 通过缩放算子在 level-$ \ell $ 同余子群上构造自守函数，保持 $ L^2 $ 和上范数有界性。
• 利用自守提升的 $ L^2 $-范数和上范数的统一有界性，控制谱和并推导出关键的次凸界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有任意中心特征的模形式，建立单变量和双变量下移位兰金-塞尔伯格卷积的亚纯延拓？
• RQ2 形如 $ \sum_{m < x} a(m)\overline{b}(m+h) (m(m+h))^{(1-k)/2} $ 的移位和的精确上界是什么？它们与次凸性有何关联？
• RQ3 能否将多重狄利克雷级数理论扩展至包含多个参数的移位？它们具有何种解析性质？
• RQ4 移位卷积的谱展开如何导出 $ L $-函数在 $ Q $-方面下的次凸界？
• RQ5 在提升阶数算子作用下，自守提升在控制 $ L^2 $-范数和谱和中起什么作用？

主要发现

• 移位狄利克雷级数 $ D(s;h) $ 在 $ \mathbb{C} $ 上具有亚纯延拓，将经典兰金-塞尔伯格理论推广至移位卷积。
• 获得了 $ \Gamma_0(N) $ 上模函数三重积的平均值的精确上界，将 [4] 的结果推广至 $ PGL_2(\mathbb{A}) $ 的固定非 Eisenstein 表示。
• 该方法导出了 $ L(\frac{1}{2}, f, \chi) $ 的次凸界，将指数从 $ \frac{1}{2} + \epsilon $ 降低至 $ \frac{1}{2} - \delta $（$ \delta > 0 $），打破了凸性界限。
• 自守提升 $ {}^\ell\phi_{v_T} $ 的 $ L^2 $-范数被统一有界于 $ \beta T^2 $，且与水平 $ \ell $ 无关，从而实现对谱和的控制。
• 建立了不等式 $ \sum_{\frac{1}{2}T \leq |\lambda_i| \leq T} |\langle {}^\ell\phi^k \overline{{}^\ell\phi'^k}, \phi_i \rangle_{Y_{\ell N_0}}|^2 \cdot \ell^{2k} |\lambda_i|^{2-2k} e^{\frac{1}{2}\pi|\lambda_i|} \leq A T^2 $，其中 $ A $ 仅依赖于 $ N_0 $ 和 $ k $。
• 该框架为次凸性提供了一种新的、系统化的方法，通过多重移位狄利克雷级数，其应用可扩展至高阶 $ L $-函数及任意 totally real 域上的自守形式。