[论文解读] Multiple Elliptic Polylogarithms

Francis Brown, A. Levin|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 1被引用 121

一句话总结

本文将多个椭圆多 polylogarithm 定义为复椭圆曲线上 $ n+1 $ 个标记点配置空间上的多值函数，通过一种平均过程构造，确保单值单值性。关键贡献在于证明该空间上所有迭代积分——包括去掉原点的椭圆曲线的单值基本群的周期——均可表示为这些函数的组合，从而将 genus 0 几何中多重 polylogarithm 的作用推广至 genus 1 几何。

ABSTRACT

We study the de Rham fundamental group of the configuration space $E^{(n)}$ of $n+1$ marked points on an elliptic curve $E$, and define multiple elliptic polylogarithms. These are multivalued functions on $E^{(n)}$ with unipotent monodromy, and are constructed by a general averaging procedure. We show that all iterated integrals on $E^{(n)}$, and in particular the periods of the unipotent fundamental group of the punctured curve $E \backslash \{0\}$, can be expressed in terms of these functions.

研究动机与目标

• 构造高亏格周期的椭圆类多重 polylogarithm。
• 为椭圆曲线上标记点配置空间上的迭代积分定义一个通用框架。
• 证明 $ \mathcal{E} \setminus \{0\} $ 的单值基本群的所有周期均可由这些函数生成。
• 在去掉原点的椭圆曲线的 de Rham 基本群丛上建立 $ \mathbb{Q} $-结构。

提出的方法

• 使用椭圆曲线 $ \mathcal{E} $ 上 $ n+1 $ 个标记点的配置空间 $ \mathcal{E}^{(n)} $ 的 de Rham 基本群。
• 应用一种通用平均过程，构造具有单值单值性的多重椭圆 polylogarithm。
• 运用 Chen 的迭代积分理论以及 de Rham 复形上的 bar 构造，描述同伦不变积分。
• 利用 de Rham 复形的有理模型，其中形式 $ \frac{dt_i}{t_i}, \frac{dt_i}{1-t_i}, \frac{dt_i - dt_j}{t_i - t_j} $ 满足 Arnold 关系。
• 对长度滤子的关联分次进行投影，以分析迭代积分的结构。
• 证明 $ \mathcal{E}^{(n)} $ 上的所有迭代积分均可表示为函数 $ r - r_\varrho = \int_\varrho^\xi \overline{\nu} $ 与平均过程系数的乘积的线性组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于在 genus 0 中的作用，如何将多重 polylogarithm 推广至椭圆曲线？
• RQ2 椭圆曲线上 $ n+1 $ 个标记点的配置空间 $ \mathcal{E}^{(n)} $ 上的迭代积分具有怎样的代数与解析结构？
• RQ3 是否所有 $ \mathcal{E} \setminus \{0\} $ 的单值基本群的周期均可由一类通用函数表示？
• RQ4 $ \mathcal{E}^\times $ 的 de Rham 基本群丛上 $ \mathbb{Q} $-结构是什么？它与这些函数有何关系？

主要发现

• 所有 $ \mathcal{E}^{(n)} $ 上的迭代积分，包括 $ \mathcal{E} \setminus \{0\} $ 的单值基本群的周期，均可表示为多重椭圆 polylogarithm 的组合。
• $ \varrho\Pi_\xi(\mathcal{E}^\times) $ 的周期属于由 $ r - r_\varrho $ 和关于 $ \alpha_i $ 的平均过程系数生成的 $ \mathbb{Q} $-代数。
• 任意 $ V(X_{F_n}) $ 中元素的迭代积分均可表示为 $ r - r_\varrho $ 与平均过程生成级数的乘积的线性组合。
• $ V(X_{F_n}) $ 的关联分次同构于 $ \mathbb{Q} \overline{\nu} \oplus \mathbb{Q} \overline{\omega}^{(0)} \oplus \bigoplus \mathbb{Q} \overline{\eta}_{\sigma_i} $ 上的张量代数，证实了这些函数的代数结构。
• 该构造可通过定理 26 推广至切向基点和高维纤维，从而将结果推广至所有 $ \mathcal{E}^{(n)} $。