[论文解读] Multiple ergodic averages along functions from a Hardy field: convergence, recurrence and combinatorial applications

Vitaly Bergelson, Joel Moreira+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文建立了沿 Hardy 场函数的多重遍历平均的收敛性与递归性，证明了此类平均在 $L^2$ 中收敛，并在正上密度集合中产生新的组合构型。该研究证实了 Frantzikinakis 提出的猜想，并将 Szemerédi 型定理扩展至包含多项式与 Hardy 场中非多项式函数（如 $t^{3/2}$ 或 $e^{ ad{t}}$）的混合情形，表明在非多项式条件下，相应的返回时间集合是稠密的。

ABSTRACT

We obtain new results pertaining to convergence and recurrence of multiple ergodic averages along functions from a Hardy field. Among other things, we confirm some of the conjectures posed by Frantzikinakis in [Fra10; Fra16] and obtain combinatorial applications which contain, as rather special cases, several previously known (polynomial and non-polynomial) extensions of Szemeredi's theorem on arithmetic progressions [BL96; BLL08; FW09; Fra10; BMR17]. One of the novel features of our results, which is not present in previous work, is that they allow for a mixture of polynomials and non-polynomial functions. As an illustration, assume $f_i(t)=a_{i,1}t^{c_{i,1}}+\cdots+a_{i,d}t^{c_{i,d}}$ for $c_{i,j}>0$ and $a_{i,j}\in\mathbb{R}$. Then $\bullet$ for any measure preserving system $(X,\mathcal{B},μ,T)$ and $h_1,\dots,h_k\in L^\infty(X)$, the limit $$\lim_{N o\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N T^{[f_1(n)]}h_1\cdots T^{[f_k(n)]}h_k$$ exists in $L^2$; $\bullet$ for any $E\subset \mathbb{N}$ with $\overline{\mathrm{d}}(E)>0$ there are $a,n\in\mathbb{N}$ such that $\{a,\, a+[f_1(n)],\ldots,a+[f_k(n)]\}\subset E$. We also show that if $f_1,\dots,f_k$ belong to a Hardy field, have polynomial growth, and are such that no linear combination of them is a polynomial, then for any measure preserving system $(X,{\mathcal B},μ,T)$ and any $A\in{\mathcal B}$, $$\limsup_{N o\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nμ\Big(A\cap T^{-[ f_1(n) ]}A\cap\ldots\cap T^{-[f_k(n)]}A\Big)\,\geq\,μ(A)^{k+1}.$$

研究动机与目标

• 建立沿 Hardy 场中函数的多重遍历平均的收敛性，推广多项式与非多项式情形。
• 解决 Frantzikinakis 关于沿非多项式序列的多重遍历平均与递归性的开放猜想。
• 证明针对由混合多项式与非多项式函数定义的构型的 Szemerédi 定理的组合推广。
• 刻画返回集合为稠密或 syndetic 的条件，揭示基于增长率与可微性的二分性。

提出的方法

• 利用特征因子与 nil 系统，将遍历平均约化为在齐性空间上的 nil 转移。
• 应用均匀分布理论处理满足 Hardy 场中函数与多项式增长的序列 $[f_i(n)]$。
• 通过系统的结构分解，将问题约化至连通、单连通的幂零李群情形。
• 使用权函数 $W$ 与相容性条件（Property P 或 WP）处理非均匀分布的序列。
• 通过逼近技术与极限平均中的误差控制，消除下取整函数的影响。
• 利用 Ric20 中关于慢增长与非多项式行为函数的多重遍历平均结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，沿 Hardy 场中函数的多重遍历平均在 $L^2$ 中收敛？
• RQ2 当集合 $\{n \in \mathbb{N} : E \cap (E - \lfloor f(n) \rfloor) \neq \emptyset\}$ 为稠密时，其成立条件如何依赖于 $f$ 的增长率与可微性？
• RQ3 收敛性与递归性结果能否扩展至包含 Hardy 场中多项式与非多项式函数的混合情形？
• RQ4 当所有 $f_1, \dots, f_k$ 的线性组合均非多项式时，多重递归中下界 $\mu(A)^{k+1}$ 的条件是否必要？
• RQ5 函数与权函数之间的相容性条件能否从 Property (P) 弱化为 Property (WP)？
• RQ6 当函数满足涉及导数的广义非多项式性条件时，返回集合的交集 $R_{f_1} \cap \cdots \cap R_{f_k}$ 是否仍为稠密？

主要发现

• 对任意测度保持系统及 $h_1, \dots, h_k \in L^\infty(X)$，当 $f_i(t) = a_{i,1}t^{c_{i,1}} + \cdots + a_{i,d}t^{c_{i,d}}$ 且 $c_{i,j} > 0$、$a_{i,j} \in \mathbb{R}$ 时，多重遍历平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N T^{[f_1(n)]}h_1 \cdots T^{[f_k(n)]}h_k$ 在 $L^2$ 中收敛。
• 若 $f_1, \dots, f_k$ 属于 Hardy 场，具有多项式增长，且任意线性组合均非多项式，则 $\limsup_{N \to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \mu(A \cap T^{-[f_1(n)]}A \cap \cdots \cap T^{-[f_k(n)]}A) \geq \mu(A)^{k+1}$。
• 对任意满足上述条件的 $f_i$，若集合 $E \subset \mathbb{N}$ 满足 $\overline{\mathrm{d}}(E) > 0$，则存在 $a, n \in \mathbb{N}$ 使得 $\{a, a + [f_1(n)], \dots, a + [f_k(n)]\} \subset E$。
• 若对某 $\ell \in \mathbb{N}$ 有 $f_i(t) \prec t^\ell$ 且 $f_i(t) \succ t^{\ell-1}$，则返回集合 $R_f = \{n : E \cap (E - \lfloor f(n) \rfloor) \neq \emptyset\}$ 为稠密。
• 若 $f_i$ 满足涉及其导数与增长率的非多项式性条件，则交集 $R_{f_1} \cap \cdots \cap R_{f_k}$ 为稠密。
• 当所有 $c_{i,j}$ 均为非整数时，多重遍历平均的极限等于积分乘积 $\int h_1 \, d\mu \cdots \int h_k \, d\mu$，表明存在某种 Wiener-Wintner 型等分布性。