[论文解读] Multiple expansions of real numbers with digits set $\{0,1,q\}$

Karma Dajani, Kan Jiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文研究了在非整数底数 q 下，使用数字集 {0, 1, q} 对实数进行多重展开。结果表明，当 k ≥ 2 时，存在恰好 k 个不同 q-展开的底数 q 的集合为 (q_c, ∞)，其中 q_c ≈ 2.32472 是方程 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0 的实根。关键结果为：对于任意 k ≥ 2，具有恰好 k 个展开的数的集合的 Hausdorff 维数等于唯一展开集（univoque set）的维数，且具有不可数无限多个展开的数的集合在 E_q 中具有全 Hausdorff 维数。

ABSTRACT

For $q>1$ we consider expansions in base $q$ over the alphabet $\{0,1,q\}$. Let $\mathcal{U}_q$ be the set of $x$ which have a unique $q$-expansions. For $k=2, 3,\cdots,\aleph_0$ let $\mathcal{B}_k$ be the set of bases $q$ for which there exists $x$ having $k$ different $q$-expansions, and for $q\in \mathcal{B}_k$ let $\mathcal{U}_q^{(k)}$ be the set of all such $x$'s which have $k$ different $q$-expansions. In this paper we show that \[ \mathcal{B}_{\aleph_0}=[2,\infty),\quad \mathcal{B}_k=(q_c,\infty)\quad extrm{for any}\quad k\ge 2, \] where $q_c\approx 2.32472$ is the appropriate root of $x^3-3x^2+2x-1=0$. Moreover, we show that for any positive integer $k\ge 2$ and any $q\in\mathcal{B}_{k}$ the Hausdorff dimensions of $\mathcal{U}_q^{(k)}$ and $\mathcal{U}_q$ are the same, i.e., \[ \dim_H\mathcal{U}_q^{(k)}=\dim_H\mathcal{U}_q\quad extrm{for any}\quad k\ge 2. \] Finally, we conclude that the set of $x$ having a continuum of $q$-expansions has full Hausdorff dimension.

研究动机与目标

• 刻画所有满足存在实数使用数字 {0, 1, q} 恰好具有 k 个不同 q-展开的底数 q > 1 的集合。
• 确定具有恰好 k 个 q-展开的数的集合的 Hausdorff 维数，特别是与唯一展开集（k=1）进行比较。
• 研究具有不可数无限多个 q-展开的数的集合的结构与大小。
• 理解展开多重性随底数 q 变化的转变过程，特别是在临界值 q_c 附近。

提出的方法

• 定义 B_k 为所有满足存在 x ∈ E_q 且具有恰好 k 个不同 q-展开的底数 q > 1 的集合。
• 使用迭代函数系统（IFS）φ_d(x) = (x + d)/q（其中 d ∈ {0, 1, q}）将 E_q 建模为具有重叠的自相似集。
• 通过符号动力学与有限型子移位分析 q-展开的结构，以刻画对应于唯一展开与多重展开的序列集合。
• 将临界底数 q_c 确定为方程 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0 的实根，该值将展开多重性不同的区域分隔开。
• 应用分形几何中的技术，包括开口集条件与图导向构造，以计算 Hausdorff 维数。
• 利用引理与结构结果，比较当 k ≥ 2 时 U_q^(k) 与 U_q 的 Hausdorff 维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 q > 1，存在使用数字 {0, 1, q} 恰好具有 k 个不同 q-展开的实数，其中 k ≥ 2 且 k = ℵ₀ 或 2^ℵ₀？
• RQ2 具有恰好 k 个不同 q-展开的数的集合的 Hausdorff 维数是多少？其与唯一展开集 U_q 的维数相比如何？
• RQ3 具有不可数无限多个 q-展开的数的集合在 E_q 中是否具有全 Hausdorff 维数？
• RQ4 在区间 (q_c, q*) 内，U_q 的 Hausdorff 维数是否存在统一公式？
• RQ5 函数 D(q) = dim_H(U_q) 在 (q_c, q*) 上是否表现出 Devil’s staircase 行为？

主要发现

• 可接受具有不可数无限多个 q-展开的数的底数集合 B_ℵ₀ 为 [2, ∞)，而对于所有 k ≥ 2，有 B_k = (q_c, ∞)，其中 q_c ≈ 2.32472 是方程 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0 的实根。
• 对于任意整数 k ≥ 2 及任意 q ∈ B_k，具有恰好 k 个 q-展开的数的集合 U_q^(k) 的 Hausdorff 维数等于唯一展开集 U_q 的 Hausdorff 维数。
• U_q 的 Hausdorff 维数为正，当且仅当 q > q_c。
• 当 q = 3 时，对所有 k ≥ 2，有 dim_H(U_q^(k)) = log(q_c)/log(3) ≈ 0.767877，且 dim_H(U_q^(2^ℵ₀)) = log(q*)/log(3) ≈ 0.876036，其中 q* = (3 + √5)/2。
• 当 q = 1 + √2 ∈ (q_c, q*) 时，有 dim_H(U_q) ≈ 0.691404，且对所有 k ≥ 2，有 dim_H(U_q^(k)) 等于此值。
• 具有可数无限多个展开的数的集合 U_q^(ℵ₀) 在 q ∈ B_2 extbackslash (q_c, q*) 时为可数集，而对于某些 q ∈ (q_c, q*)，若此类 q 存在，则其具有正 Hausdorff 维数，尽管该问题仍为开放问题。