[论文解读] Multiple Lattice Packings and Coverings of the Plane with Triangles

Kirati Sriamorn|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Analytic and geometric function theory被引用 4

一句话总结

本文为平面内任意三角形 T 建立了 j 重格栅填充与覆盖密度的精确公式：δᴸʲ(T) = 2j²/(2j+1) 和 ϑᴸʲ(T) = (2j+1)/2。证明当三角形通过特定缩放的阶梯多边形导出的格栅平移时，可实现这些密度，并利用涉及 2j+1 的素因数的乘法数论函数，计算出实现最优格栅的数量。

ABSTRACT

Given a convex disk $K$ and a positive integer $j$, let $δ_L^j(K)$ and $\vartheta_L^j(K)$ denote the $j$-fold lattice packing density and the $j$-fold lattice covering density of $K$, respectively. I will prove that for every triangle $T$ we have that $δ_L^j(T)=\frac{2j^2}{2j+1}$ and $\vartheta_L^j(T)=\frac{2j+1}{2}$. Furthermore, I also obtain that the numbers of lattices which attain these densities both are $(2j+1)\prod_{p|2j+1}(1-\frac{2}{p})$, where the product is over the distinct prime numbers dividing $2j+1$.

研究动机与目标

• 确定任意三角形 T 在 R² 中的精确 j 重格栅填充与覆盖密度。
• 表征实现这些最优密度的格栅。
• 推导出实现最优填充与覆盖密度的互不相同格栅数量的公式。
• 确立这些密度与三角形形状无关，仅依赖于 j。
• 通过半开 r-阶梯多边形及其缩放结构，将问题与组合几何联系起来。

提出的方法

• 通过凸体 K 的 |K|/d(Λ) 比值定义 j 重格栅填充与覆盖密度 δᴸʲ(K) 和 ϑᴸʲ(K)，其中 d(Λ) 为格栅 Λ 的行列式。
• 引入 r-阶梯多边形 S(j) 及其缩放版本 S(j)/(2j+1) 和 S(j)/(2j)，用于模拟最优填充与覆盖的基本域。
• 证明最优填充密度 δᴸʲ(T) 被实现当且仅当关联集合 Sⱼ(Λ) 等于 S(j)/(2j)，最优覆盖密度 ϑᴸʲ(T) 被实现当且仅当 Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j+1)。
• 利用类欧拉函数 φᵏ(n) 的性质，计算实现最优密度的互不相同格栅的数量。
• 利用 δᴸʲ(T) 和 ϑᴸʲ(T) 在非奇异仿射变换下不变的事实，将问题约化为顶点为 (0,0)、(1,0)、(0,1) 的标准三角形。
• 应用定理 3.1，该定理将基本域的结构与精确 j 重格栅密铺联系起来，从而建立最优密度与精确密铺之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面内任意三角形 T 的 j 重格栅填充密度 δᴸʲ(T) 的精确值是什么？
• RQ2 平面内任意三角形 T 的 j 重格栅覆盖密度 ϑᴸʲ(T) 的精确值是什么？
• RQ3 哪些格栅实现了三角形 T 的最优 j 重格栅填充与覆盖密度？
• RQ4 有多少个互不相同的格栅实现了三角形 T 的最优 j 重格栅填充与覆盖密度？
• RQ5 最优填充与覆盖构型能否通过类似缩放阶梯多边形的几何对象来表征？

主要发现

• 任意三角形 T 的 j 重格栅填充密度精确为 δᴸʲ(T) = 2j²/(2j+1)。
• 任意三角形 T 的 j 重格栅覆盖密度精确为 ϑᴸʲ(T) = (2j+1)/2。
• 当且仅当关联的基本域 Sⱼ(Λ) 等于 S(j)/(2j) 时，实现最优填充密度，其中 S(j) 是 r = 2j 的标准 r-阶梯多边形。
• 当且仅当 Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j+1) 时，实现最优覆盖密度。
• 实现最优填充与覆盖密度的互不相同格栅的数量为 (2j+1) × ∏_{p|2j+1} (1 - 2/p)，其中乘积取遍 2j+1 的不同素因数。
• 最优构型对应于平面的精确 j 重格栅密铺，其中缩放多边形 S(j)/(2j) 或 S(j)/(2j+1) 构成一个基本域。