[论文解读] Multiple Orthogonal Polynomials and Random Walks

Amílcar Branquinho, Ana Foulquié‐Moreno+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2021

Mathematical functions and polynomials参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文研究了多重正交多项式与一维随机游走之间的联系，重点探讨首次通过时间、常返性性质以及状态分类为瞬态、零常返或正常返的问题。研究证明，对于具有整数值增量的不可约马尔可夫链，某一状态的常返性等价于返回概率之和的发散性，且期望首次通过时间决定了常返性是正的还是零的。

ABSTRACT

Given a non-negative Jacobi matrix describing higher order recurrence relations for multiple orthogonal polynomials of type~II and corresponding linear forms of type I, a general strategy for constructing a pair of stochastic matrices, dual to each other, is provided. The corresponding Markov chains (or 1D random walks) allow, in one transition, to reach for the N-th previous states, to remain in the state or reach for the immediately next state. The dual Markov chains allow, in one transition, to reach for the N-th next states, to remain in the state or reach for immediately previous state. The connection between both dual Markov chains is discussed at the light of the Poincaré's theorem on ratio asymptotics for homogeneous linear recurrence relations and the Christoffel-Darboux formula within the sequence of multiple orthogonal polynomials and linear forms of type I. The Karlin-McGregor representation formula is extended to both dual random walks, and applied to the discussion of the corresponding generating functions and first-passage distributions. Recurrent or transient character of the Markov chain is discussed. Steady state and some conjectures on its existence and the relation with mass points are also given. The Jacobi-Piñeiro multiple orthogonal polynomials are taken as a case study of the described results. For the first time in the literature, an explicit formula for the type~I Jacobi--Piñeiro polynomials is determined. The region of parameters where the Markov chains are recurrent or transient is given, and it is conjectured that when recurrent, the Markov chains are null recurrent and, consequently, the expected return times are infinity. Examples of recurrent and transient Jacobi--Piñeiro random walks are constructed explicitly.

研究动机与目标

• 通过首次通过时间分布分析一维随机游走的概率结构。
• 利用首次通过概率表征不可约马尔可夫链中状态的常返性与瞬态性。
• 基于期望首次通过时间的有限性，研究状态分类为正常态返或零常返的问题。
• 建立不可约链中无限期望返回时间与零常返之间的等价性。
• 将正交多项式理论与随机游走转移矩阵的谱性质相联系。

提出的方法

• 将一维随机游走建模为具有整数值增量的离散时间马尔可夫链。
• 将首次通过时间概率 $ f_{ij}^n $ 定义为从状态 $ i $ 出发，首次在时间 $ n $ 访问状态 $ j $ 的概率。
• 引入累积首次通过概率 $ F^n_{ij} = \sum_{m=1}^n f_{ij}^m $，其在 $ n \to \infty $ 时收敛于 $ F^\infty_{ij} $。
• 利用 $ F^\infty_{jj} = 1 $ 定义常返性：若从 $ j $ 出发最终返回 $ j $ 的概率为 1，则状态 $ j $ 为常返。
• 应用判据 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n = \infty $ 判断常返性，将其与状态访问的更新过程相联系。
• 根据 $ \mathbb{E}[T_{jj}] < \infty $ 或 $ \mathbb{E}[T_{jj}] = \infty $ 分别将常返性分类为正常态返或零常返。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维随机游走中，何种条件决定某一状态为常返或瞬态？
• RQ2 在不可约马尔可夫链中，和式 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n $ 的发散性如何与常返性相关联？
• RQ3 首次通过时间分布在表征常返性特征中起什么作用？
• RQ4 期望首次通过时间与常返性分类为正常态返或零常返之间有何关系？
• RQ5 在这样的随机游走中，多重正交多项式如何从转移矩阵的谱分析中涌现？

主要发现

• 当且仅当 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n = \infty $ 时，状态 $ j $ 为常返，这意味着几乎必然地，对 $ j $ 的返回次数为无穷次。
• 若 $ \mathbb{E}[T_{jj}] < \infty $，则状态 $ j $ 为正常态返；若 $ \mathbb{E}[T_{jj}] = \infty $，则为零常返，后者意味着期望返回时间为无穷。
• 在不可约马尔可夫链中，所有状态要么全为正常态返，要么全为零常返，要么全为瞬态。
• 累积首次通过概率 $ F^n_{ij} $ 单调递增，并收敛于 $ F^\infty_{ij} \leq 1 $，表示从 $ i $ 出发最终访问状态 $ j $ 的总体概率。
• 对于常返状态 $ j $，至时间 $ t $ 的访问计数过程 $ N_{jj}(t) $ 满足 $ \lim_{t \to \infty} N_{jj}(t) = \infty $ 几乎必然成立。
• 常返性分类完全由级数 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n $ 的收敛性或发散性决定，这等价于对状态 $ j $ 的期望返回次数的发散性。