[论文解读] Multiple Patterns Formation for an Aggregation/Diffusion Predator-Prey System

Simone Fagioli, Yahya Jaafra|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文研究了一维非局部相互作用的捕食者-猎物聚集/扩散系统，其中包含二次扩散，通过函数隐函数定理证明了在小扩散条件下存在由多个空间模式（尖峰）组成的驻定解。关键结果表明，在特定的相互作用强度 $\alpha$ 和尖峰位置条件下，多尖峰稳态解出现，数值模拟验证了混合、分离及行波模式。

ABSTRACT

We investigate existence of stationary solutions to an aggregation/diffusion system of PDEs, modelling a two species predator-prey interaction. In the model this interaction is described by non-local potentials that are mutually proportional by a negative constant $-α$, with $α>0$. Each species is also subject to non-local self-attraction forces together with quadratic diffusion effects. The competition between the aforementioned mechanisms produce a rich asymptotic behaviour, namely the formation of steady states that are composed of multiple bumps, i.e. sums of Barenblatt-type profiles. The existence of such stationary states, under some conditions on the positions of the bumps and the proportionality constant $α$, is showed for small diffusion, by using the functional version of the Implicit Function Theorem. We complement our results with some numerical simulations, that suggest a large variety in the possible strategies the two species use in order to interact each other.

研究动机与目标

• 研究具有相互非局部吸引与排斥作用的非局部聚集/扩散系统中驻定解的存在性，该系统用于建模捕食者-猎物动力学。
• 分析由自吸引、交叉吸引/排斥与二次扩散之间竞争所引发的复杂空间模式——特别是多尖峰结构——的形成机制。
• 建立在相互作用强度 $\alpha$ 与尖峰空间构型下多尖峰稳态存在的条件。
• 通过数值模拟验证理论结果，展示包括混合态、分离态及行波模式在内的多样化动态行为。

提出的方法

• 从具有非局部自相互作用及捕食者-猎物相互作用势能的粒子模型出发，推导出PDE系统。
• 通过尺度变换将系统简化为对称扩散系数的一维系统，简化分析过程，同时保留关键动力学特性。
• 应用函数形式的隐函数定理，证明在小扩散条件下多尖峰驻定解的存在性。
• 采用Barenblatt型解作为基解，通过摄动分析构造多尖峰稳态解。
• 使用粒子方法与有限体积格式进行数值模拟，以可视化并验证复杂模式的出现。
• 所有相互作用势能（$S_\rho, S_\eta, K$）均采用归一化高斯核，以确保光滑性并满足分析假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相互作用强度 $\alpha$ 与尖峰空间构型满足何种条件时，聚集/扩散捕食者-猎物系统中可存在多尖峰驻定解？
• RQ2 自吸引、交叉吸引/排斥与二次扩散之间的竞争如何导致稳定空间模式的形成？
• RQ3 多尖峰稳态的理论存在性是否可在不同初始数据与参数范围内通过数值方法得到验证？
• RQ4 从不同初始条件与 $\alpha$ 值出发，会涌现出哪些动态行为，如混合态、分离构型或行波？
• RQ5 $\alpha$ 的取值如何影响共存（混合）与分离（分离）稳态之间的转变？

主要发现

• 在小扩散及特定尖峰位置构型下，本文通过隐函数定理证明了多尖峰驻定解的存在性。
• 数值模拟确认了当 $\alpha = 0.05$，$d = 0.3$，且初始数据诱导出平衡吸引力时，存在四尖峰稳态。
• 当 $\alpha = 1$，$d = 0.3$，且初始数据将捕食者与猎物置于对称簇中时，数值上观察到五尖峰稳态。
• 当 $\alpha = 6$ 时，观察到从混合态到分离态的转变，表明猎物对捕食者的逃逸倾向显著增强。
• 当 $\alpha = 1$，$d = 0.2$，且初始数据将捕食者与猎物置于空间分离区域时，出现行波模式，表明存在动态共存。
• 参数 $\alpha$ 的选择对系统行为具有决定性影响：低 $\alpha$ 导致混合态，高 $\alpha$ 导致分离态，中间值则导致行波。