[论文解读] Multiple points of immersions

Konstantin Salikhov|ArXiv.org|Mar 13, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在 bordism 群中构建了一个完整的障碍，用于判断一个正则同伦类的浸入 $V^n \looparrowright M^m$ 是否包含一个 $k$-浸入（即无 $k$-重叠点的浸入），在维度条件 $(k+1)(n+1) \leq km$ 下成立。该障碍消失当且仅当存在这样的 $k$-浸入，通过 bordism 理论方法与等变技术，推广了 Haefliger 对 $k=2$ 的结果。

ABSTRACT

Given smooth manifolds $V^n$ and $M^m$, an integer $k$, and an immersion $f:V\looparrowright M$, we have constructed an obstruction for existence of regular homotopy of $f$ to an immersion $f':V\looparrowright M$ without $k$-fold points. This obstruction takes values in certain framed bordism group, and for $(k+1)(n+1)\leq km$ turns out to be complete.

研究动机与目标

• 确定一个正则同伦类的浸入 $V^n \looparrowright M^m$ 是否包含一个 $k$-浸入，即无 $k$-重叠点的浸入。
• 通过 bordism 理论与等变方法，将 Haefliger 对 $k=2$ 的结果推广至更高的 $k$。
• 在维度条件 $(k+1)(n+1) \leq km$ 下，在一个 bordism 群中构造一个完整的障碍，以检测 $k$-浸入的存在性。
• 将理论扩展至多个浸入 $f_1, \dots, f_k$ 共同具有 $k$-重叠交点的情形，提供通过正则同伦消除此类交点的判别准则。

提出的方法

• 为一个一般浸入 $f: V^n \looparrowright M^m$ 定义 $k$-重叠点的流形 $\overline{\pitchfork}(f^{(k)})$，其为一个维度为 $kn - (k-1)m$ 的浸入子流形。
• 将 $f$ 关联到一个特定的等变 bordism 群 $\Omega_{kn - (k-1)m}(E_k; \xi(f))$ 中的元素 $b(f^{(k)})$，该元素仅依赖于 $f$ 的正则同伦类。
• 利用对称群 $\Sigma_k$ 在 $k$-重覆盖 $\widehat{\overline{\pitchfork}(f^{(k)})}$ 上的作用，定义一个 $\Sigma_k$-等变 bordism 类。
• 在 $\widehat{\overline{\pitchfork}(f^{(k)})}$ 与同一 bordism 类的代表元 $N$ 之间构造一个 $\Sigma_k$-等变 bordism $J: \widehat{W} \to \widehat{E_k}$。
• 应用一般位置论证，将映射 $B: (\widehat{W} \times T)/\Sigma_k \to M$ 扰动以确保横截性，并与 $f(V)$ 的自交点保持不相交。
• 构造一个 $\Sigma_k$-不变的浸入 $H: \widehat{W}^+ \times T^+ \to M$，当 bordism 类消失时，该浸入诱导一个消除 $k$-重叠点的正则同伦。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种维度条件下，一个正则同伦类的浸入 $V^n \looparrowright M^m$ 可以包含一个 $k$-浸入？
• RQ2 是否存在一个完整的 bordism 理论障碍，用于消除浸入中的 $k$-重叠点？
• RQ3 该方法能否扩展至消除 $k$ 个不同浸入 $f_1, \dots, f_k$ 的共同 $k$-重叠交点？
• RQ4 在特殊情形下，$k$-重叠点的符号或模 2 计数如何与 $k$-浸入的存在性相关？

主要发现

• 当 $(k+1)(n+1) \leq km$ 时，障碍 $b(f^{(k)}) \in \Omega_{kn - (k-1)m}(E_k; \xi(f))$ 是检测 $k$-浸入存在性的完整障碍。
• 若在 bordism 群中 $b(f^{(k)}) = 0$，则存在一个 $f$ 的正则同伦，使其成为 $k$-浸入。
• 对于 $V^{(k-1)r} \looparrowright M^{kr}$ 且 $r > k$ 的情形，一个一般浸入当且仅当符号计数 $I(f) = 0$ 时，正则同伦于一个 $k$-浸入。
• 当 $M = \mathbb{R}^{kr}$ 且 $r > k$ 为奇数时，任意浸入 $V^{(k-1)r} \looparrowright \mathbb{R}^{kr}$ 均正则同伦于一个 $k$-浸入。
• 对于 $k$ 个浸入 $f_1, \dots, f_k$，它们可正则同伦至无共同 $k$-重叠交点，当且仅当它们的像可连续同伦至无公共交点。
• 当 $V_i$ 为 $p$-连通且 $M$ 为 $(p+1)$-连通，且 $p \in \{4,5,12\}$ 时，任意 $k$ 个浸入均可正则同伦至无共同交点。