[论文解读] Multiple polylogarithms and mixed Tate motives

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Mar 8, 2001

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用 315

一句话总结

本文從分析、霍奇理論和motif的觀點發展多重polylogarithm的理論，確立其作為框架化混合Tatemotif的週期的角色。它構造了在單位根處的motif多重polylogarithm的霍普夫代數，將其識別為第N級cyclotomic霍普夫代數，並與$\mathbb{G}_m - \mu_N$上的motif路徑torsor相連接，為更高階cyclotomy及數域上混合Tatemotif的猜想結構奠定基礎。

ABSTRACT

We develop the theory of multiple polylogarithms from analytic, Hodge and motivic point of view. Define the category of mixed Tate motives over a ring of integers in a number field. Describe explicitly the multiple polylogarithm Hopf algebra.

研究动机与目标

• 發展分析、霍奇理論與motif框架下多重polylogarithm的統一理論。
• 構造數域中S-整數環上混合Tatemotif的阿貝爾範疇。
• 使用框架化混合Tatemotif定義並研究$\mathbb{G}_m - \mu_N$上motif路徑torsor。
• 提出並支持關於motif伽羅瓦群結構與多重polylogarithm普遍性的猜想，即其能生成所有框架化混合Tatemotif。
• 建立多重polylogarithm、L-函數的特殊值與模曲面$Y_1(m; N)$幾何之間的聯繫。

提出的方法

• 使用疊代積分與框架化混合霍奇-Tate結構的形式語法，將多重polylogarithm定義為週期。
• 構造一個分次交換霍普夫代數$H^\bullet$，其為$\mathbb{Q}$上框架化霍奇-Tate結構的代數，並在單位根處設立一個特異子代數$ZH^\bullet(\mu_N)$。
• 應用Tannakian形式語法與motif同倫理論的結果，定義數域中S-整數環上混合Tatemotif的範疇$MT(O_{F,S})$。
• 在域上代數曲面上引入motif路徑torsor $PM(X; x, y)$，並證明當$X = \mathbb{A}^1 - \{z_1, \dots, z_m\}$時，其為$MT(F)$中的擬對象。
• 使用motif李共代數$L(F)^\bullet$上的深度過濾，並透過理想$I(F)^\bullet = \bigoplus_{n \geq 2} L(F)^{-n}$定義一個猜想性過濾。
• 主張此過濾的對偶與由多重polylogarithm所誘導的深度過濾一致，從而連結至Zagier的猜想與motif多重polylogarithm的普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 多重polylogarithm與$\mathbb{G}_m - \mu_N$的motif基本群有何關係？
• RQ2 motif多重polylogarithm在單位根處的霍普夫代數結構為何？其與cyclotomic單位及模形式有何關聯？
• RQ3 所有框架化混合Tatemotif是否皆可由motif多重polylogarithm生成？
• RQ4 motif李共代數$L(F)^\bullet$上的深度過濾是否與由motif多重polylogarithm所誘導的過濾一致？
• RQ5 在$\mathbb{G}_m - \mu_N$上motif路徑torsor的週期如何與多重zeta函數及polylogarithm的特殊值相關？

主要发现

• 與多重polylogarithm相關的框架化霍奇-Tate結構形成一個霍普夫子代數$ZH^\bullet(\mu_N)$，稱為第N級cyclotomic霍普夫代數。
• 第一個分量$ZH^1(\mu_N)$同構於$O^*(S_N) \otimes \mathbb{Q}$中的cyclotomic單位群，其分析實例為$Li_1(\zeta_N) = -\log(1 - \zeta_N)$。
• motif路徑torsor $PM(\mathbb{G}_m - \mu_N; v_0, v_1)$是$MT(S_N)$中的擬對象，其週期皆可透過單位根處的多重polylogarithm表示。
• $ZH^\bullet(\mu_N)$霍普夫代數描述了路徑torsor的霍奇實現，其結構在猜想上與模曲面$Y_1(m; N)$的幾何相關。
• motif李共代數$L(F)^\bullet$上的猜想性深度過濾與由多重polylogarithm所誘導的過濾一致，暗示motif多重polylogarithm的普遍性。
• 猜想7.6暗示Zagier對多重zeta值的猜想，並支持所有框架化混合Tatemotif皆可由多重polylogarithm生成的觀點。